ベルヌーイ数 Bernoulli Number - 倭算数理研究所

正接関数 ${ \tan x }$ の展開係数として現れるベルヌーイ数。　正直今まであんまり真面目に扱ったことがなく敬遠してたんですが、ちょっとあれこれベルヌーイ数にまつわる公式を自分の手で計算して確かめてみました。　ほとんどwikipedia:ベルヌーイ数に書いてある公式を書いてある通りに導いてるだけですけど。　途中計算をある程度残しとります。

参考

定義

ベルヌーイ数 (Bernoulli Number) ${ B_n }$ は以下の冪級数展開の係数として定義されるそうで。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{x}{e^x - 1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!}x^n \end{align*}}$

これを微分して ${ B_n }$ を出すのはさすがにイヤw　ってことで、 ${ B_n }$ が満たす漸化式を導いて、それから ${ B_n }$ を計算しましょう。

ベルヌーイ数の漸化式

wikipedia:ベルヌーイ数によると「ベルヌーイ数の漸化式は、上記の関数 ${ f(x) = \frac{x}{e^x - 1} }$ の逆数をテイラー展開し、その 2 つの積が 1 になることから導出できる」そうなので、やってみましょう。

まずは ${ f(x) }$ の逆数の展開。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{1}{f(x)} &= \frac{e^x - 1}{x} = \frac{1}{x}\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}-1\right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{n!} \\ &= \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{(n+1)!} \end{align*}}$

これとベルヌーイ数の定義の冪級数展開の式を掛けて1になることより

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} 1 &= \left(\sum_{i=0}^\infty \frac{B_i}{i!}x^i\right) \left(\sum_{j=0}^\infty\frac{x^j}{(j+1)!}\right) \\ &= \sum_{i = 0}^\infty \sum_{j = 0}^\infty \frac{B_i}{i!(j+1)!}x^{i + j} \end{align*}}$

さて、ここで以前の記事「指数関数の冪級数から指数法則を導く」で行った二重和のとりかたの変更を施すと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} 1 = \sum_{n = 0}^\infty \sum_{k = 0}^n \frac{B_k}{k!(n-k+1)!}x^n = \sum_{n = 0}^\infty \left(\sum_{k = 0}^n \frac{B_k}{k!(n-k+1)!}\right)x^n \end{align*}}$

この式の最左辺と最右辺とが ${ x }$ についての恒等式になることより

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \begin{cases} \displaystyle{\frac{B_0}{0! \, 1!} = 1} & (n = 0) \qquad \cdots (1) \\[4mm] \displaystyle{\sum_{k = 0}^n \frac{B_k}{k!(n-k+1)!} = 0} & (n \geqq 1) \qquad \cdots (2) \end{cases} \end{align*}}$

(1) 式より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} B_0 = 1 \end{align*}}$

これは簡単*1。　また (2) 式より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sum_{k = 0}^{n-1} \frac{B_k}{k!(n-k+1)!} + \frac{B_n}{n!\,1!} = 0 \end{align*}}$

となるので、

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} B_n &= - n! \sum_{k = 0}^{n-1} \frac{B_k}{k!(n-k+1)!} \\ &= - \sum_{k = 0}^{n-1} \frac{n!}{k!(n-k+1)!}B_k \\ &= - \frac{1}{n+1}\sum_{k = 0}^{n-1} {}_{n+1}C_k\; B_k \end{align*}}$

ただし、ここで ${ {}_nC_k = \binom{n}{k} }$ は二項係数 (Binomial Coefficient) で、

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} {}_nC_k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \end{align*}}$

であることを使いました。　結局、漸化式（と初項）は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \begin{cases} B_0 = 1 \\[4mm] \displaystyle{B_n = - \frac{1}{n+1}\sum_{k = 0}^{n-1} {}_{n+1}C_k\; B_k} & (n \geqq 1) \end{cases} \end{align*}}$

となります。　ベルヌーイ数は二項係数（の右の添字）と足し上げると意味ありげな結果になるようですね。　ちなみに上記の ${ B_n }$ の式と同じことですが、(2) 式の両辺に ${ (n+1)! }$ をかけて

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sum_{k = 0}^n {}_{n+1}C_k\;B_k = 0 \end{align*}}$

和を書き下せば

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} {}_{n+1}C_0\;B_0 + {}_{n+1}C_1\;B_1 + {}_{n+1}C_2\;B_2 + \cdots + {}_{n+1}C_n\;B_n = 0 \qquad(n \geqq 1) \end{align*}}$

が成り立ちます。

ベルヌーイ数の具体値

では、上記の初項と漸化式を用いて、ベルヌーイ数の最初の数項を計算してみましょう：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} B_0 = 1 \end{align*}}$

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} B_1 &= -\tfrac{1}{2} {}_2C_0\;B_0 = -\tfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot 1 \\ &= - \tfrac{1}{2} \end{align*}}$

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} B_2 &= -\tfrac{1}{3}\left({}_3C_0\;B_0 + {}_3C_1\;B_1\right) = -\tfrac{1}{3}\Big(1\cdot 1 - 3\cdot\tfrac{1}{2}\Big) \\ &= \tfrac{1}{6} \end{align*}}$

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} B_3 &= -\tfrac{1}{4}\Big({}_4C_0\;B_0 + {}_4C_1\;B_1 + {}_4C_2\;B_2\Big) \\ &= -\tfrac{1}{4}\Big(1\cdot 1 - 4\cdot\tfrac{1}{2} + 6\cdot\tfrac{1}{6}\Big) \\ &= 0 \end{align*}}$

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} B_4 &= -\tfrac{1}{5}\Big(1\cdot 1 - 5\cdot\tfrac{1}{2} + 10\cdot\tfrac{1}{6} + 0\Big) \\ &= - \tfrac{1}{30} \end{align*}}$

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} B_5 &= -\tfrac{1}{6}\Big(1\cdot 1 -6\cdot\tfrac{1}{2} + 15\cdot\tfrac{1}{6} + 0 - 15\cdot\tfrac{1}{30}\Big) \\ &= 0 \end{align*}}$

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} B_6 &= -\tfrac{1}{7}\Big(\cdot 1 - 7\cdot\tfrac{1}{2} + 21\cdot\tfrac{1}{6} + 0 - 35\cdot\tfrac{1}{30} + 0\Big) \\ &= \tfrac{1}{42} \end{align*}}$

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} B_7 &= -\tfrac{1}{8}\Big(1\cdot 1 - 8\cdot\tfrac{1}{2} + 28\cdot\tfrac{1}{6} + 0 - 70\cdot\tfrac{1}{30} + 0 + 28\cdot\tfrac{1}{42}\Big) \\ &= 0 \end{align*}}$

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} B_8 &= -\tfrac{1}{9}\Big(1\cdot 1 - 9\cdot\tfrac{1}{2} + 36\cdot\tfrac{1}{6} + 0 - 126\cdot\tfrac{1}{30} + 0 + 84\cdot\tfrac{1}{42} + 0\Big) \\ &= -\tfrac{1}{30} \end{align*}}$

もーイヤ！　1以外の奇数番目のベルヌーイ数は0になるそうです。　一応結果をまとめておきましょう：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} B_0 &= 1, & B_1 &= -\frac{1}{2} \\ B_2 &= \frac{1}{6}, & B_3 &= 0 \\ B_4 &= -\frac{1}{30}, & B_5 &=0 \\ B_6 &= \frac{1}{42}, & B_7 &=0 \\ B_8 &= -\frac{1}{30} \end{align*}}$