3次元の点と平面の距離の公式を導く　～ガリガリ計算編～

前回、 ${ n }$ 次元における点と ${ (n-1) }$ 次元超平面との距離を与える公式を導きました。　そのついでとして3次元空間での点と平面との距離の公式を得ました。　今回は、その3次元での公式を、「点と直線の距離の公式を導く　～初等的解法～」で行ったのと同じような方法で導いてみたいと思います。　まぁ、脳の老化を防ぐための頭の体操レベルの、難しくないけど面倒な計算演習って感じですが。　簡単のため、一般の点ではなく原点と平面との距離を求めます。

点と直線の距離の公式と同様、導出にはいくつかの方法があります：

導出の概要

原点と平面との距離 ${ r }$ は、図形的に考えれば原点を中心とする半径 ${ r }$ の球と平面が接するように、 ${ r }$ を決定すれば OK。

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = r^2 & \cdots (1) \\ ax + by + cz + d = 0 & \cdots(2) \end{cases} \end{align*} }$

変数は ${ x,\,y,\,z }$ 。　(2) 式は拘束条件なので、これを使って変数 ${ z }$ を消去しましょう。　(2) 式より

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} cz = -\left(ax + by + d\right) \end{align*} }$

(1) 式の両辺に ${ c^2 }$ を掛けて (2) 式を代入すると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} c^2 x^2 + c^2 y^2 + \left(ax + by + d\right)^2 - c^2 r^2 = 0 \end{align*} }$

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} (a^2 + c^2) x^2 + 2abxy + (b^2 + c^2) y^2 + 2adx + 2bdy + d^2 - c^2r^2 &= 0 & \cdots (3) \end{align*} }$

この ${ x,\,y }$ についての2次方程式が重解（？）を持つように ${ r }$ を決定します。

左辺を平方完成

まず、方程式 (3) の左辺を ${ x }$ について平方完成しましょう：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} {\rm (l.h.s)} &= {\small (a^2 + c^2) x^2 + 2a(by + d)x + (b^2 + c^2) y^2 + 2bdy + d^2 - c^2r^2 } \\ & = {\small (a^2 + c^2) \left\{x + \frac{a(by + d)}{a^2 + c^2} \right\}^2 - \frac{a^2(by + d)^2}{a^2 + c^2} + (b^2 + c^2) y^2 + 2bdy + d^2 - c^2r^2} \end{align*} }$

次に、第2項以降の ${ x }$ に依存しない項を取り出して ${ y }$ について平方完成します：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} & {\small - \frac{a^2(by + d)^2}{a^2 + c^2} + (b^2 + c^2) y^2 + 2bdy + d^2 - c^2r^2 } \\ & {\small \qquad = \left\{-\frac{a^2b^2}{a^2 + c^2} +(b^2 + c^2)\right\}y^2 + 2\left(-\frac{a^2bd}{a^2 + c^2} + bd\right)y - \frac{a^2d^2}{a^2 + c^2} + d^2 - c^2r^2 } \\ & {\small \qquad = \frac{c^2(a^2 + b^2 + c^2)}{a^2 + c^2}y^2 + \frac{2bc^2d}{a^2 + c^2} y - \frac{a^2d^2}{a^2 + c^2} + d^2 - c^2r^2 } \\ & {\small \qquad = \frac{c^2(a^2 + b^2 + c^2)}{a^2 + c^2}\left\{y + \frac{bd}{a^2 +b^2 + c^2}\right\}^2 - \frac{b^2c^2d^2}{(a^2 + c^2)(a^2 + b^2 + c^2)} - \frac{a^2d^2}{a^2 + c^2} + d^2 - c^2r^2 } \end{align*} }$

さらに第2項以降を取り出して変形すると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} & {\small - \frac{b^2c^2d^2}{(a^2 + c^2)(a^2 + b^2 + c^2)} - \frac{a^2d^2}{a^2 + c^2} + d^2 - c^2r^2 } \\ & {\small \qquad = \frac{d^2}{(a^2 + c^2)(a^2 + b^2 + c^2)} \left\{-b^2c^2 - a^2(a^2 + b^2 + c^2) + (a^2 + c^2)(a^2 + b^2 + c^2)\right\} - c^2r^2 } \\ & \qquad = \frac{c^2d^2}{a^2 + b^2 + c^2} - c^2r^2 \\ & \qquad = c^2\left(\frac{d^2}{a^2 + b^2 + c^2} - r^2\right) \end{align*} }$

すべてまとめると、方程式 (3) は以下のようになります：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} &(a^2 + c^2) \left\{x + \frac{a(by + d)}{a^2 + c^2} \right\}^2 + \frac{c^2(a^2 + b^2 + c^2)}{a^2 + c^2}\left\{y + \frac{bd}{a^2 +b^2 + c^2}\right\}^2 \\ & \qquad + c^2\left(\frac{d^2}{a^2 + b^2 + c^2} - r^2\right) = 0 \end{align*} }$

重解を持つように ${ r }$ を決定

上記の方程式が ${ x,\,y }$ について重解を持つためには、左辺の ${ x,\,y }$ に依存しない第3項が消えなければなりません。　よって

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} r = \frac{\left|d\right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \end{align*} }$

また、方程式の解となる ${ x,\,y }$ の値は、第1, 2 項の平方の中身がそれぞれ0になるという条件から出せます：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \begin{cases} \displaystyle x = -\frac{a(by + d)}{a^2 + c^2} \\[2mm] \displaystyle y = - \frac{bd}{a^2 + b^2 + c^2} \end{cases} \end{align*} }$

${ y }$ の値は既に求まっていますが、 ${ x }$ の式には ${ y }$ が含まれているので、 ${ y }$ の値を代入して

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x &= -\frac{a}{a^2 + c^2}\left\{-\frac{b^2d}{a^2 + b^2 + c^2} + d\right\} \\ &= -\frac{ad}{a^2 + b^2 + c^2} \end{align*} }$