3次元の点と平面の距離の公式を導く　～ラグランジュの未定乗数法編～

前回、極値条件を解いて点と平面の距離の公式を導きましたが、拘束条件がある場合の極値問題はラグランジュの未定乗数法 (method of Lagrange multiplier) を用いるのが定石なので、今回はその方法で点と平面の距離の公式を導いてみます（目次）。

問題設定

まず、記法を簡単にするため、以下の2つの関数を導入しましょう：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} f(x,\,y,\,z) &= (x - p)^2 + (y - q)^2 + (z - r)^2 \\ g(x,\,y,\,z) &= ax + by + cz + d \end{align*} }$

これを踏まえて、 ${ f(x,\,y,\,z) }$ は点 ${ (x,\,y,\,z) }$ と点 ${ P(p,\,q,\,r) }$ との距離の自乗となり、また ${ g(x,\,y,\,z) = 0 }$ は平面 ${ ax + by + cz + d = 0 }$ （以下、平面 ${ \alpha }$ ）を表します。　このとき、点 ${ P }$ と平面 ${ \alpha }$ の距離は「拘束条件 ${ g(x,\,y,\,z) = 0 }$ のもとでの ${ f(x,\,y,\,z) }$ の最小値（の正の平方根）」という条件から求まります。

ラグランジュの未定乗数法

拘束条件 ${ g(x,\,y,\,z) = 0 }$ のもとでの ${ f(x,\,y,\,z) }$ の最小値を求めるために、まずこの場合の極値を求めましょう。　拘束条件がある場合の極値問題は、ラグランジュの未定乗数 ${ \lambda }$ を導入して以下の関数 ${ \Phi(x,\,y,\,z,\,λ) }$ を定義し

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \Phi (x,\,y,\,z,\,\lambda) &= f(x,\,y,\,z) -\lambda g(x,\,y,\,z) \\ &= (x - p)^2 + (y - q)^2 + (z - r)^2 - \lambda (ax + by + cz + d) \end{align*} }$

この関数に対して、拘束条件がない場合と同様に極値を求めればいいのでした。

極値条件

極値条件は

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \frac{\partial \Phi}{\partial x} = \frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{\partial \Phi}{\partial z} = \frac{\partial \Phi}{\partial \lambda} = 0 \end{align*} }$

です。　 ${ \Phi }$ の表式を使ってこれらの条件を具体的に計算すると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} & 2(x - p) - \lambda a = 0 & \cdots (1) \\ & 2(y - q) - \lambda b = 0 & \cdots (2) \\ & 2(z - r) - \lambda c = 0 & \cdots (3) \\ & ax + by + cz + d = 0 & \cdots (4) \end{align*} }$

を得ます。　これらを ${ x,\,y,\,z,\,\lambda }$ の4つの変数の連立方程式として解きましょう。　(1), (2), (3) より

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} &\begin{cases} x = p + \frac{1}{2}\lambda a \\ y = q + \frac{1}{2}\lambda b \\ z = r + \frac{1}{2}\lambda c \end{cases} & \cdots (5) \end{align*} }$

これらを (4) 式に代入すると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} & ap + bq + cr + d + \frac{1}{2}\lambda (a^2 + b^2 + c^2) = 0 \\ \therefore\quad & \lambda = - \dfrac{2(ap + bq + cr + d)}{a^2 + b^2 + c^2} \end{align*} }$

この ${ \lambda }$ の式を (5) 式に代入すれば、残りの変数の ${ x,\,y,\,z }$ の値も求まりますが、式がちょっと込み入ってるので省略。　また

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 \Phi}{\partial z^2} = 2 > 0 \end{align*} }$

より、この極値は極小値（よって最小値）であることも分かります。

点と平面の距離

前節で求めた ${ \lambda,\,x,\,y,\,z }$ を ${ f(x,\,y,\,z) }$ （これは拘束条件 ${ g = 0 }$ が成り立っている場合は ${ \Phi }$ に等しい）に代入すると、求めたい点 ${ P }$ と平面 ${ \alpha }$ との距離の自乗が求まります。　 ${ x,\,y,\,z }$ の表式として (5) 式の形を用いて

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} f(x,\,y,\,z) &= \frac{\lambda^2}{4}(a^2 + b^2 + c^2) \\ &= \frac{(ap + bq + cr + d)^2}{a^2 + b^2 + c^2} \end{align*} }$

となります。　よって求める距離は

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \frac{\left|ap + bq + cr + d\right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \end{align*} }$

また、 ${ \lambda }$ の表式を (5) 式に与えると、点 ${ P }$ との距離が最小値を与える平面上 ${ \alpha }$ の点の座標が求まります。　実際に計算してみると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \left(p + ka,\, q + kb,\, r + kc\right) \qquad \left(k = \frac{ap + bq + cr + d}{a^2 + b^2 + c^2}\right) \end{align*} }$

を得ます。　この点を ${ H }$ とすると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \overrightarrow{PH} &= (ka,\,kb,\,kc) = k\vec{n} & (\vec{n} = (a,\,b,\,c)) \end{align*} }$

となり、 ${ \overrightarrow{PH} }$ が平面 ${ \alpha }$ の法線ベクトル ${ \vec{n} }$ に平行、つまり ${ PH }$ が平面 ${ \alpha }$ に垂直となります。　すなわち、点 ${ H }$ は点 ${ P }$ から平面 ${ \alpha }$ に下ろした垂線の足になります。