x^n - 1 の因数分解 - 倭算数理研究所

高校数学にも出てきてそうな

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} P_n(x) = x^n - 1 \end{align*} }$

の因数分解について少々。　係数は整数の範囲で。　ガロア理論知ってる人には常識っぽい話かもしれませんが。

因数 ${ x - 1 }$

とりあえず任意の ${ n }$ について ${ P_n(1) = 0 }$ なので、因数定理より ${ P(x) }$ は ${ (x - 1) }$ を因数に持ちますね。　この因数でくくると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} P(x) = (x - 1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1) \end{align*} }$

となります。　後のため、左辺の第2因数を ${ Q_n(x) }$ とおきましょう：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} Q_n(x) = x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1 \end{align*} }$

${ Q_n(x) }$ は ${ x }$ の ${ n-1 }$ 次で、項数は ( n }] 個（ ${ x }$ の0次から ${ n-1 }$ 次まで）です。

${ n }$ が偶数の場合の ${ Q_n(x) }$ の因数分解

さて、 ${ Q_n(x) }$ がどのように因数分解されるかですが、これはもちろん ${ n }$ の値によって変わってきます。　例えば高校で出てくる例としては ${ n }$ が偶数のとき ${ P_n(-1) = 0 }$ より ${ P(x) }$ は ${ (x + 1) }$ を持つので、 ${ Q_n(x) }$ も ${ (x + 1) }$ を因数として持ちます：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} Q_n(x) = (x + 1)(x^{n-2} + x^{n-4} + x^{n-6} + \cdots + x^2 + 1) \end{align*} }$

さて、この因数分解を実行する方法は、 ${ x }$ の整式の割り算を筆算でやったり、組み立て除法でやったりすることができますが、以下のような手順で行うこともできます：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} Q_n(x) &= x^{n-1} + x^{n-2} + x^{n-3} + x^{n-4} + \cdots + x^3 + x^2 + x + 1 \\ &= (x + 1)x^{n-2} + (x + 1) x^{n-4} + \cdots + (x+1) x^2 + (x + 1) \\ &= (x + 1)(x^{n-2} + x^{n-4} + \cdots + x^2 + 1) \end{align*} }$

${ n }$ が偶数の場合には項数は偶数個なので、2つずつペアにして因数分解し、各組から ${ (x + 1) }$ という因数が出てくるのでそれでくくっています。

一般の ${ n }$ についての ${ Q_n }$ の因数分解

${ n }$ が偶数の場合の因数分解の手順を一般化すると、 ${ p }$ を ${ n }$ の素因数として ${ Q_n(x) }$ は

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + 1 \end{align*} }$

を因数に持つことが分かります。　ここで ${ q_p(x) }$ を

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} q_p(x) = x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + 1 \end{align*} }$

で定義しましょう。　 ${ q_p(x) }$ はまぁ ${ Q_p(x) }$ と同じなんですが、 ${ p }$ が素数ってのを強調したいがために小文字にしてます。　このとき、「 ${ Q_n(x) }$ は、 ${ p }$ を ${ n }$ の素因数として ${ q_p(x) }$ を因数に持つ」が成り立ちます。　 ${ n }$ が偶数のとき、 ${ n }$ は 2 を素因数として持つので、 ${ p = 2 }$ として ${ Q_n(x) }$ は ${ q_2(x) = x + 1 }$ を因数に持つ、となります。

別の例を具体的にやってみましょう。　 ${ n = 6 }$ の場合（これは以前の記事「6次の因数分解を考える」でやった因数分解で ${ y = 1 }$ とおいたものです）。　6の素因数は 2, 3 ですね。　 ${ p =2 }$ とすると偶数の場合と同じになるので ${ p = 3 }$ としましょう。　このとき

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} Q_6(x) &= x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 \\ &= (x^2 + x + 1)x^3 + (x^2 + x + 1) \\ &= (x^2 + x + 1)(x^3 + 1) \end{align*} }$

第2因数はさらに因数分解できて（ ${ p = 2 }$ とすれば ${ x + 1 }$ を因数に持つハズでもあるので）

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} Q_6(x) = (x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1) \end{align*} }$

よって

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x^6 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) \end{align*} }$

n が小さい整数の場合

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x^3 - 1 &= (x-1)q_3(x) \\ x^4 - 1 &= (x-1)q_2(x)(x^2+1) \\ x^5 - 1 &= (x-1)q_5(x) \\ x^6 - 1 &= (x-1)q_2(x)q_3(x)(x^2 - x +1) \\ x^7 - 1 &= (x-1)q_7(x) \\ x^8 - 1 &= (x-1)q_2(x)(x^2+1)(x^4+1) \\ x^9 - 1 &= (x-1)q_3(x)(x^6 + x^3 + 1) \\ x^{10} - 1 &= (x-1)q_2(x)q_5(x)(x^4-x^3+x^2-x+1) \\ x^{11} - 1 &= (x-1)q_{11}(x) \\ x^{12} - 1 &= (x-1)q_2(x)q_3(x)(x^2+1)(x^2-x+1)(x^4-x^2+1) \end{align*} }$

因数分解しきれてなかったらごめんなさい。

何がやりたかったかというと・・・

まぁ、何がやりたかったかというと・・・

${ P_n(x) }$ を複素数の範囲で因数分解するのはガロア理論（最初の最初）でやるようなことで、1の ${ n }$ 乗根のうち1でないものを用いて ${ x }$ の1次式 ${ n }$ 個の積に因数分解できますよね。
実数の範囲での因数分解では、1の ${ n }$ 乗根の中に互いに共役な複素数があることを使えば、 ${ (x-1) }$ と（あれば） ${ (x+1) }$ を除いて2次式の因数として書き表せます。