ルンゲ=クッタ法を導く (1) ：準備としての高次テイラー法

次回に、イマイチ導出が謎な『ルンゲ=クッタ (Runge-Kutta)法』*1を導いてみます。　今回はそれを行うのに必要な準備として、高次テイラー法を簡単に導出します*2。

微分方程式

問題設定はオイラー法を導出したときと同じです：

次の微分方程式を解け：
　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{dy}{dx} = f(x,\,y) \end{align*}}$

${ f(x, y) }$ は ${ C^\infty }$ 級の関数としましょう。　初期条件はここでは省略（ホントは大切ですけど）。　この微分方程式をシミュレーションで解く際に必要なのは、 ${ f(x,\,y),\,h }$ を用いて ${ (x_n,\, y_n) }$ の組から ${ (x_{n+1},\,y_{n+1}) }$ を計算することです。　 ${ x_{n+1} }$ は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x_{n+1} = x_n + h \end{align*}}$

で与えられるので、メインとなるのは ${ y_n }$ から ${ y_{n+1} }$ を計算することになります。　今回導く高次テイラー法や次回から導くルンゲ=クッタ法は、この ${ y_{n+1} }$ を計算するアルゴリズムが異なるだけです（ ${ x_{n+1} }$ の表式は同じ）。

高次 Taylor 法

問題の微分方程式の解が

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} y = y(x) \end{align*}}$

であるとします。　このとき

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \begin{cases} y_n = y(x_n) \\ y_{n+1} = y(x_{n+1}) = y(x_n + h) \end{cases} \end{align*}}$

となります。　ここで、 ${ y_{n+1} }$ を ${ x_n }$ の周りでテイラー展開すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} y_{n+1} &= y(x_n+h) \\ &= y(x_n) + h y'(x_n) + \frac{h^2}{2!} y''(x_n) + \frac{h^3}{3!} y'''(x_n) + \cdots \\ &= y_n + h \sum_{m=0}^\infty \frac{h^m}{(m+1)!} y^{(m+1)}(x_n) \end{align*}}$

さらに問題の微分方程式 ${ y' = f(x,\,y) }$ より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} y^{(m+1)}(x) = \frac{d^m}{dx^m}f(x,\,y) \end{align*}}$

なので、結局次式を得ます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} y_{n+1} &= y_n + hf(x_n,\,y_n) + \frac{h^2}{2!}\left\{\frac{df}{dx}(x_n,\,y_n)\right\} + \frac{h^3}{3!}\left\{\frac{d^2f}{dx^2}(x_n,\,y_n)\right\} + \cdots \\[2mm] &= y_n + h\sum_{m=0}^\infty \frac{h^m}{(m+1)!}\left\{\frac{d^m}{dx^m}(x_n,\,y_n)\right\} \end{align*}}$

ここで幾つか注意を。　まず

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{d^mf}{dx^m}(x_n, \, y_n) \end{align*}}$

は ${ f(x,\,y) }$ を ${ x }$ で ${ m }$ 回微分した後、 ${ (x_n,\,y_n) }$ を代入するという意味です。　また、

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{d^mf}{dx^m} \end{align*}}$

は偏微分ではなく全微分です。　つまり、 ${ x }$ の引数だけでなく、 ${ y }$ を通した ${ x }$ への依存性に関しても微分を行います：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{d}{dx}f(x,\,y) = \frac{\partial}{\partial x} f(x,\,y) + \left\{\frac{\partial}{\partial y} f(x,\,y)\right\}\frac{dy}{dx} \end{align*}}$