ルンゲ=クッタ法を導く (4) ： 2次の場合

ルンゲ=クッタ (Runge-Kutta) 法を導くシリーズ（目次）今回は2次のルンゲ=クッタ法。　「問題設定」の ${ s=2 }$ の場合。

条件式

満たすべき条件式は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &a_1\left[k_1\right]_{h=0} + a_2\left[k_2\right]_{h=0} = f(x_n,\,y_n) & \cdots (1) \\[4mm] &a_1\left[\frac{dk_1}{dh}\right]_{h=0} + a_2\left[\frac{dk_2}{dh}\right]_{h=0} = \frac{1}{2}\frac{df}{dx}(x_n,\,y_n) & \cdots (2) \end{align*}}$

ただし

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} k_1 &= f(x_n,\,y_n) & \cdots (3) \\ k_2 &= f(x_n+c_2h,\,y_n+c_2hk_1) &\cdots (4) \end{align*}}$

です。

(1) 式： ${ k }$ の0階微分の条件式

${ k_1,\,k_2 }$ の定義式 (3), (4) より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \left[k_1\right]_{h=0} = \left[k_2\right]_{h=0} = f(x_n,\,y_n) \end{align*}}$

なので、(1) 式に代入すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_1f(x_n,\,y_n) + a_2f(x_n,\,y_n) = f(x_n,\,y_n) \end{align*}}$

よって、以下の関係が得られます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_1 + a_2 = 1 \end{align*}}$

(2) 式： ${ k }$ の1階微分の条件式

${ k_1 }$ の微分

${ k_1 }$ の定義式 (3) より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{dk_1}{dh} &= 0, & \therefore & \left[\frac{dk_1}{dh}\right]_{h=0} = 0 \end{align*}}$

${ k_2 }$ の微分

${ k_2 }$ の定義式 (3) より（長くなるので、所々引数を省略しています）

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{dk_2}{dh} = c_2\left\{\frac{\partial k_2}{\partial x} + \frac{\partial k_2}{\partial y}k_1\right\} \end{align*}}$

となるので、

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \left[\frac{dk_2}{dh}\right]_{h=0} = c_2\left\{\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}f\right\} \end{align*}}$

${ f(x,\,y) }$ の微分

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{df}{dx} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}f \end{align*}}$

得られる関係式

上記で得られた関係を (2) 式に代入すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} c_2a_2\left\{\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}f\right\} = \frac{1}{2}\left\{\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}f\right\} \end{align*}}$

したがって次式が得られます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_2c_2 = \tfrac{1}{2} \end{align*}}$

${ a,\,c }$ の値

${ a,\,c }$ が満たすべき関係式をまとめると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_1 + a_2 &= 1 & a_2c_2 &= \tfrac{1}{2} \end{align*}}$

${ c_2 }$ を決めれば ${ a_1,\,a_2 }$ は定まりますが、 ${ c_2 }$ の選び方はいくらか任意性があり、使用される値によって方法に名前が付いているようです（こちらを参照）。

ルンゲ=クッタの中点法

${ c_2=\frac{1}{2} }$ のとき ${ a_1=0,\,a_2=1 }$ となります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} y_{n+1} = y_n + hf(x_n+\tfrac{1}{2}h,\,y_n+\tfrac{1}{2}hf(x_n,\,y_n)) \end{align*}}$

Heun 法

${ c_2=\frac{2}{3} }$ のとき ${ a_1=\frac{1}{4},\,a_2=\frac{3}{4} }$ となります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} y_{n+1} = y_n + \tfrac{h}{4}\Big\{f(x_n,\,y_n) + 3f(x_n+\tfrac{2}{3}h,\,y_n+\tfrac{2}{3}hf(x_n,\,y_n)) \Big\} \end{align*}}$