ルンゲ=クッタ法を導く (5) ： 3次の場合

ルンゲ=クッタ (Runge-Kutta) 法を導くシリーズ（目次）。　今回は3次のルンゲ=クッタ法。　「問題設定」の ${ s=3 }$ の場合。

満たすべき条件式

満たすべき条件式は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\sum_{i=1}^3a_i\left[k_i\right]_{h=0} = f(x_n,\,y_n) &\cdots (1) \\[2mm] &\sum_{i=1}^3a_i\left[\frac{d k_i}{dh}\right]_{h=0} = \frac{1}{2}\frac{df}{dx}(x_n,\,y_n) &\cdots (2) \\[2mm] &\sum_{i=1}^3a_i\left[\frac{d^2 k_i}{dh^2}\right]_{h=0} = \frac{1}{3}\frac{d^2f}{dx^2}(x_n,\,y_n) &\cdots (3) \end{align*}}$

ただし

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} k_1 &= f(x_n,\,y_n) \\ k_2 &= f(x_n+c_2h,\,y_n+c_2hk_1) \\ k_3 &= f(x_n+c_3h,\,y_n+c_3hk_2) \end{align*}}$

(1) 式： ${ k }$ の0階微分の条件式

s = 2 の場合と同様にして

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_1 + a_2 +a_3= 1 \end{align*}}$

(2) 式：k の1階微分の条件式

これも s = 2 の場合と同様にして

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_2 c_2 +a_3 c_3= \tfrac{1}{2} \end{align*}}$

(3) 式： ${ k }$ の2階微分の条件式

${ k_1 }$ の微分

${ k_1 }$ は ${ h }$ に依存しないので簡単。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \left[\frac{d^2k_1}{dh^2}\right]_{h=0} = 0 \end{align*}}$

${ k_i }$ の微分

${ k_i\; (i = 2,\,3) }$ の場合

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \left[\frac{d^2k_i}{dh^2}\right]_{h=0} = c_i^2\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}f + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}f^2\right) + 2c_i\frac{\partial f}{\partial y}\left[\frac{dk_{i-1}}{dh}\right]_{h=0} \end{align*}}$

ここで

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \left[\frac{dk_1}{dh}\right]_{h=0} &= 0, & \left[\frac{dk_2}{dh}\right]_{h=0} &= c_2\frac{df}{dx} \end{align*}}$

より次式を得ます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \left[\frac{d^2k_2}{dh^2}\right]_{h=0} &= c_2^2\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}f + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}f^2\right) \\[4mm] \left[\frac{d^2k_3}{dh^2}\right]_{h=0} &= c_3^2\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}f + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}f^2\right) + 2c_3c_2\frac{\partial f}{\partial y}\frac{df}{dx} \end{align*}}$

${ f(x,\,y) }$ の2階微分

${ f(x,\,y) }$ の2階微分は次のようになります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{d^2f}{dx^2} &= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}f + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}f^2 + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{df}{dx} \end{align*}}$

得られる関係式

上記で得られた関係を (3) 式に代入して整理すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\left(a_2c_2^2 + a_3c_3^2\right)\left\{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}f + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}f^2\right\} + 2a_3c_3c_2\left\{\frac{\partial f}{\partial y}\frac{df}{dx}\right\} \\[2mm] &\qquad = \frac{1}{3}\left\{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}f + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}f^2 + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{df}{dx}\right\} \end{align*}}$

したがって次式が得られます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_2c_2^2 + a_3c_3^2 &= \tfrac{1}{3}, & 2a_3c_3c_2 &= \tfrac{1}{3} \end{align*}}$

${ a,\,c }$ が満たすべき関係式

${ a,\,c }$ が満たすべき関係式をまとめると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_1 + a_2 +a_3 &= 1 \\ a_2 c_2 +a_3 c_3 &= \tfrac{1}{2} \\ a_2c_2^2 + a_3c_3^2 &= \tfrac{1}{3} \\ 2a_3c_3c_2 &= \tfrac{1}{3} \end{align*}}$

となります。

${ a,\,c }$ の値

上記の関係式は、文字が5つで式が4つなので、完全には文字の値が決まりません。　なので、文字1つを適当に決めてやる必要があります。　ただ、任意の値でいいわけではないようで、例えば ${ c_3=1 }$ を課すと ${ c_2 }$ が実数で求まりません。　ちょっと面倒な（そんなに難しくありませんが）解析をしてやると、 ${ c_2 }$ が実数として存在するためには

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} c_3 \le \tfrac{3}{4} \end{align*}}$

という条件が満たされている必要があります。　これが充分条件というわけではありませんが、1つの文字の値を決めるのには適度な目安でしょう。

${ c_3=\frac{3}{4} }$ の場合

この場合、各変数の値は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} (a_1,\,a_2,\,a_3,\,c_2,\,c_3) = \left(\tfrac{2}{9},\,\tfrac{1}{3},\,\tfrac{4}{9},\,\tfrac{1}{2},\,\tfrac{3}{4}\right) \end{align*}}$

と定まります。　なんとなく、 ${ a,\,c }$ それぞれの組の数字が綺麗に並んでる気も。　このとき ${ y_{n+1} }$ は以下のようになります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &y_{n+1} = y_n + \tfrac{1}{9}h\left(2k_1 + 3k_2 + 4k_3\right) \\[4mm] 　　&\begin{cases} k_1 &= f(x_n,\,y_n) \\ k_2 &= f(x_n+\tfrac{1}{2}h,\,y_n+\tfrac{1}{2}hk_1) \\ k_3 &= f(x_n+\tfrac{3}{4}h,\,y_n+\tfrac{3}{4}hk_2) \end{cases} \end{align*}}$

${ c_3 = \frac{2}{3} }$ の場合

このとき、各変数の値は次の2通りに決まります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} (a_1,\,a_2,\,a_3,\,c_2,\,c_3) = \left(\tfrac{1}{4},\,0,\,\tfrac{3}{4},\,\tfrac{1}{3},\,\tfrac{2}{3}\right),\, \left(\tfrac{1}{4},\,\tfrac{3}{8},\,\tfrac{3}{8},\,\tfrac{2}{3},\,\tfrac{2}{3}\right) \end{align*}}$

このとき、それぞれの場合の ${ y_{n+1} }$ は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &y_{n+1} = y_n + \tfrac{1}{4}h\left(k_1 + 3k_3\right) \\[4mm] &\begin{cases} k_1 &= f(x_n,\,y_n) \\ k_2 &= f(x_n+\tfrac{1}{3}h,\,y_n+\tfrac{1}{3}hk_1) \\ k_3 &= f(x_n+\tfrac{2}{3}h,\,y_n+\tfrac{2}{3}hk_2) \end{cases} \end{align*}}$

もしくは

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &y_{n+1} = y_n + \tfrac{1}{8}h\left(2k_1 + 3k_2 + 3k_3\right) \\[4mm] &\begin{cases} k_1 &= f(x_n,\,y_n) \\ k_2 &= f(x_n+\tfrac{2}{3}h,\,y_n+\tfrac{2}{3}hk_1) \\ k_3 &= f(x_n+\tfrac{2}{3}h,\,y_n+\tfrac{2}{3}hk_2) \end{cases} \end{align*}}$