三角関数の公式を復習する (2) ：負の引数、純虚数の引数

三角関数の公式を復習するシリーズ（目次）。　今回は三角関数で引数が負や純虚数である場合を考えます。

オイラーの公式より、正弦・余弦はそれぞれ指数関数と

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin x &= \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}, & \cos x &= \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \end{align*}}$

という関係があるのでした。

【この記事の内容】

負の引数
- 【発展】その他の三角関数
【発展】純虚数の引数
公式まとめ
- 【追記】

負の引数

まずは負の引数の場合。　負の引数といっても、 ${ x }$ 自体が負ならもちろん ${ -x }$ は正になりますが。

正弦・余弦はそれぞれ奇関数、偶関数なので簡単に結果は分かりますが、ここではオイラーの公式からくる指数関数との関係を使って導いてみます。　その他の三角関数（高校では出てこないものも含めて）の証明は正弦・余弦の結果を使えば簡単に導けます。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin(-x) &= \frac{e^{i(-x)} - e^{-i(-x)}}{2i} \\ &= \frac{e^{-ix} - e^{ix}}{2i} \\ &= -\sin x \\[2mm] \cos(-x) &= \frac{e^{i(-x)} + e^{-i(-x)}}{2} \\ &= \frac{e^{-ix} + e^{ix}}{2} \\ &= \cos x \\[2mm] \tan(-x) &= \frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} \\ &= \frac{-\sin x}{\cos x} \\ &= -\tan x \end{align*}}$

よって、 ${ \sin x,\,\tan x }$ は奇関数、 ${ \cos x }$ は偶関数です。

【発展】その他の三角関数

高校では出てこない三角関数たちもやっておきましょう。　上記の3つの結果を使えば暗算で出せますが。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cot(-x) &= \frac{1}{\tan(-x)} \\ &= -\frac{1}{\tan x} \\ &= -\cot x \\[2mm] \sec(-x) &= \frac{1}{\cos(-x)} \\ &= \frac{1}{\cos x} \\ &= \sec x \\[2mm] \csc(-x) &= \frac{1}{\sin(-x)} \\ &= -\frac{1}{\sin x} \\ &= -\csc x \end{align*}}$

${ \cot x,\,\csc x }$ は奇関数、 ${ \sec x }$ は偶関数ですね。

【発展】純虚数の引数

これは高校ではやりませんが、 ${ i^2 = -1 }$ を使えば大して難しくないと思います。　双曲線関数 ${ \sinh x,\,\cosh x,\,\tanh x }$ については『もしも高校で双曲線関数をやったなら (1) ：双曲線関数の定義と相互関係』参照。　まぁ、三角関数より簡単ですけど。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin(ix) &= \frac{e^{i(ix)} - e^{-i(ix)}}{2i} \\ &= \frac{e^{-x} - e^{x}}{2i} \\ &= i\sinh x \\[4mm] \cos(ix) &= \frac{e^{i(ix)} + e^{-i(ix)}}{2} \\ &= \frac{e^{-x} + e^{x}}{2} \\ &= \cosh x \\[4mm] \tan(ix) &= \frac{\sin(ix)}{\cos(ix)} \\ &= \frac{i\sinh x}{\cosh x} \\ &= i\tanh x \end{align*}}$

高校で出てこない三角関数についても上記の関係を使えば簡単な計算で出せます。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cot(ix) &= \frac{1}{\tan(ix)} \\ &= \frac{1}{i\tanh x} \\ &= -i\coth x \\[2mm] \sec(ix) &= \frac{1}{\cos(ix)} \\ &= \frac{1}{\cosh x} \\ &= \textrm{sech}\, x \\[2mm] \csc(ix) &= \frac{1}{\sin(ix)} \\ &= \frac{1}{i\sinh x} \\ &= -i\textrm{csch}\, x \end{align*}}$

公式まとめ

負の引数

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin(-x) &= -\sin x \\ \cos(-x) &= \quad\cos x \\ \tan(-x) &= -\tan x \\[2mm] \cot(-x) &= -\cot x \\ \sec(-x) &= \quad\sec x \\ \csc(-x) &= -\csc x \end{align*}}$

純虚数の引数

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin(ix) &= i\sinh x \\ \cos(ix) &= \;\,\cosh x \\ \tan(ix) &= i\tanh x \\[2mm] \cot(ix) &= -i\coth x \\ \sec(ix) &= \quad\textrm{sech}\, x \\ \csc(ix) &= -i\textrm{csch}\, x \end{align*}}$