三角関数の公式を復習する (4) ：倍角の公式

三角関数の公式を復習するシリーズ（目次）。　今回は倍角の公式。　倍角の公式の導出は、前回導いた加法定理で ${ y = x }$ とすればいいだけです：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin 2x &= \sin (x + x) \\ &= \sin x \cos x + \cos x \sin x \\ &= 2\sin x \cos x \\[4mm] \cos 2x &= \cos^2 x - \sin^2 x \\ &= 1 - 2\sin^2 x & (\cos^2 x = 1 - \sin^2 x) \\ &= 2\cos^2 x - 1 & (\sin^2 x = 1 - \cos^2 x) \\[4mm] \tan 2x &= \frac{2\tan x}{1-\tan^2x} \end{align*}}$

【発展】その他の三角関数

高校で出てこない3つの三角関数についても同様に倍角の公式が導けます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cot 2x &= \frac{ \cot^2 x - 1}{2\cot x} \\[2mm] \sec 2x &= \frac{\sec^2 x}{1 - \tan^2 x} = \frac{1}{1-2\sin^2x} = \frac{1}{2\cos^2x - 1} \\[2mm] \csc2x &= \frac{\csc^2x}{2\cot x} = \frac{1}{2\sin x \cos x} = \frac{1}{2}\sec x \csc x \end{align*}}$

${ \sec x,\csc x }$ は無理せず（？） ${ \sin x,\,\cos x }$ で表した方が分かりやすいかも知れませんね。

まとめ

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin 2x &= 2\sin x \cos x \\[2mm] \cos 2x &= 1 - 2\sin^2 x \\ &= 2\cos^2 x - 1 \\[2mm] \tan 2x &= \frac{2\tan x}{1-\tan^2x} \\[4mm] \cot 2x &= \frac{ \cot^2 x - 1}{2\cot x} \\[2mm] \sec 2x &= \frac{\sec^2 x}{1 - \tan^2 x} = \frac{1}{1-2\sin^2x} = \frac{1}{2\cos^2x - 1} \\[2mm] \csc2x &= \frac{\csc^2x}{2\cot x} = \frac{1}{2\sin x \cos x} = \frac{1}{2}\sec x \csc x \end{align*}}$