三角関数の公式を復習する (7) ：三角関数の合成

三角関数の公式を復習するシリーズ（目次）。　今回は三角関数の合成を見ていきます。　三角関数の合成は加法定理を今までと逆に使うというのがミソ。　使いどころを認識しておくのも大切です。　合成を実行する式は ${ \sin x }$ と ${ \cos x }$ の1次式です：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a\sin x + b\cos x \end{align*}}$

合成の大まかな手順は

${ \sqrt{a^2+b^2} }$ でくくる
適切な角度 ${ \alpha }$ を探す
加法定理によって1つの三角関数に合成する

です。　まずは第1段階。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\cos x\right) \end{align*}}$

式は複雑ですが、やることは簡単。　次は第2段階。　以下を満たす角度 ${ \alpha }$ を探します：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cos \alpha &= \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, & \sin \alpha &= \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} & \left(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\right) \end{align*}}$

この ${ \alpha }$ が見つかったとしましょう。　すると、最後の第3段階で、この ${ \alpha }$ と加法定理を用いて

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\sqrt{a^2 + b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\cos x\right) \\[4mm] &\qquad= \sqrt{a^2 + b^2}\left(\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha\right) \\ &\qquad= \sqrt{a^2 + b^2}\;\sin(x + \alpha) \end{align*}}$

と合成できます。

公式まとめ

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\;\sin(x + \alpha) \end{align*}}$

ただし ${ \alpha }$ は以下を満たす実数：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cos \alpha &= \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, & \sin \alpha &= \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} &\left(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\right) \end{align*}}$