三角関数の公式を復習する (9) ：三角関数の和積の公式

三角関数の公式を復習するシリーズ（目次）。　今回は三角関数の和積の公式。　和積の公式は前回の積和の公式とは逆に、2つの三角関数の積を2つの三角関数の和で表す公式です。　公式の導き方は、単に積和の公式を逆に解くだけです。　積和の公式は4つありましたが、そのうちの1つについてだけ見ていきます。

公式の証明

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin x \cos y = \frac{1}{2}\big\{\sin(x+y) + \sin(x-y)\big\} \end{align*}}$

に対して

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \begin{cases} \alpha = x + y \\ \beta= x - y \end{cases} \end{align*}}$

とおきます。　これを逆に解くと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \begin{cases} x = \dfrac{\alpha + \beta}{2} \\[4mm] y = \dfrac{\alpha - \beta}{2} \end{cases} \end{align*}}$

となるので

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin \dfrac{\alpha + \beta}{2} \cos \dfrac{\alpha - \beta}{2} &= \frac{1}{2}\big\{\sin \alpha + \sin \beta \big\} \\ \therefore \; \sin\alpha + \sin\beta &= 2\sin \dfrac{\alpha + \beta}{2} \cos \dfrac{\alpha - \beta}{2} \end{align*}}$

他の積和の公式からも同様に和積の公式が導けます。

公式まとめ

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sin\alpha + \sin\beta &= 2\sin \dfrac{\alpha + \beta}{2} \cos \dfrac{\alpha - \beta}{2} \\ \sin\alpha - \sin\beta &= 2\cos \dfrac{\alpha + \beta}{2} \sin \dfrac{\alpha - \beta}{2} \\ \cos\alpha + \cos\beta &= 2\cos \dfrac{\alpha + \beta}{2} \cos \dfrac{\alpha - \beta}{2} \\ \cos\alpha - \cos\beta &= -2\sin \dfrac{\alpha + \beta}{2} \sin \dfrac{\alpha - \beta}{2} \end{align*}}$