もしも高校で双曲線関数をやったなら (1) ：双曲線関数の定義と相互関係

今回から何回かにわたって双曲線関数 (hyperbolic functions) を見ていきます。

高校数学では三角関数は非常に重要な部分を占めていますが、それと親戚関係にある双曲線関数はほとんど出てきません。　ただ、双曲線関数は、指数関数が分かっていれば三角関数よりもむしろ簡単であり、またいろいろな公式なども三角関数での対応する公式の導出と同じようにして導けるので、高校数学で出てくる三角関数の公式を元にして、双曲線関数の性質をいろいろを見ていきたいと思います。

三角関数の場合はこちら。　これを踏まえて、次は双曲線関数。

定義

双曲線関数の定義は、三角関数の場合のように虚数単位などは出てこず、単なる指数関数の和と差から定義されます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sinh x &= \frac{e^x - e^{-x}}{2} \\ \cosh x &= \frac{e^x + e^{-x}}{2} \\ \tanh x &= \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} -1}{e^{2x} + 1} \end{align*}}$

なんてことないですね。

相互の関係

${ \sinh x }$ と ${ \cosh x }$ の表式から

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \begin{cases} e^{x} &= \cosh x + \sinh x \\ e^{-x} &= \cosh x - \sinh x \end{cases} \end{align*}}$

辺々を掛けると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} 1 &= \left(\cosh x + \sinh x\right)(\cosh x - \sinh x) \\ &= \cosh^2 x - \sinh^2 x \end{align*}}$

よって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cosh^2 x - \sinh^2 x &= 1 & \cdots(2) \end{align*}}$

(2) 式の両辺を ${ \cosh^2 x }$ で割ると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} 1 - \tanh^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x} \end{align*}}$

同様に (2) 式の両辺を ${ \sinh^2 x }$ で割ると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{1}{\tanh^2 x} - 1 = \frac{1}{\sinh^2 x} \end{align*}}$

となります。

公式まとめ

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cosh^2 x - \sinh^2 x &= 1 \\ 1 - \tanh^2 x &= \frac{1}{\cosh^2 x} \\ \frac{1}{\tanh^2 x} - 1 &= \frac{1}{\sinh^2 x} \end{align*}}$