もしも高校で双曲線関数をやったなら (4) ：双曲線関数の倍角の公式

双曲線関数の公式を見ていくシリーズ（目次）。　今回は加法定理からすぐに導ける倍角の公式を導きます。　双曲線関数は引数が角度じゃないので“倍角”と言っていいのかわからないけど、面倒なので“倍角”の公式で通します。　次回以降の記事も同様。　双曲線関数の倍角の公式も三角関数の場合と同じように、加法定理で ${ y = x }$ とします。　双曲線関数は高校でやらないので、ちょっとくどいくらいに丁寧に式変形していこうかと。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sinh 2x &= \sinh (x + x) \\ &= \sinh x \cosh x + \cosh x \sinh x \\ &= 2\sinh x \cosh x \\[4mm] \cosh 2x &= \cosh(x + x) \\ &= \cosh x \cosh x + \sinh x \sinh x \\ &= \cosh^2 x + \sinh^2 x \\ &= 1 + 2\sinh^2 x & (\cosh^2 x = 1 + \sinh^2 x) \\ &= 2\cosh^2 x - 1 & (\sinh^2 x = \cosh^2 x - 1) \\[4mm] \tanh 2x &= \tanh (x + x) \\ &= \frac{\tanh x + \tanh x}{1+\tanh x \tanh x} \\ &= \frac{2\tanh x}{1+\tanh^2x} \end{align*}}$

${ \cosh }$ の倍角の ${ \sinh x }$ による表式が、三角関数の場合と符号が異なります。　 ${ \tanh }$ の倍角の分母も符号変化。

公式まとめ

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sinh 2x &= 2\sinh x \cosh x \\[2mm] \cosh 2x &= 1 + 2\sinh^2 x \\ &= 2\cosh^2 x - 1 \\[2mm] \tanh 2x &= \frac{2\tanh x}{1+\tanh^2x} \end{align*} }$