もしも高校で双曲線関数をやったなら (5) ：双曲線関数の半角の公式

双曲線関数の公式を見ていくシリーズ（目次）。　前回の倍角の公式に続いて、今回は半角の公式を見ていきます。　双曲線関数の半角の公式も、導き方は三角関数の場合とほとんど同じで、使う公式はやはり ${ \cosh x }$ の倍角の公式です。　まずは ${ \sinh x }$ の半角の公式を導きましょう。　 ${ \cosh x }$ の倍角の公式で ${ \sinh x }$ を使った表式

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cosh 2x = 1 + 2\sinh^2 x \end{align*}}$

を ${ \sinh^2 x }$ について解いて

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sinh^2 x &= \frac{\cosh 2x - 1}{2} \end{align*}}$

${ x \rightarrow \frac{x}{2} }$ の置き換えをすれば以下を得ます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sinh^2 \frac{x}{2} = \frac{\cosh x - 1}{2} \end{align*}}$

三角関数の場合と同様に ${ \sinh \frac{x}{2} }$ の符号が分からないので、これ以上は解けません。　次は ${ \cosh x }$ の半角の公式。　 ${ \cosh x }$ の倍角の公式で ${ \cosh x }$ を含んでいる表式

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cosh 2x = 2\cosh^2 x -1 \end{align*}}$

より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\cosh^2 x = \frac{\cosh 2x + 1}{2} \\ \therefore \; & \cosh^2 \frac{x}{2} = \frac{\cosh x + 1}{2} & \cdots(1) \end{align*}}$

となります。　ここで、 ${ \cosh x }$ は定義より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \ge \sqrt{e^x \cdot e^{-x}} = 1 \end{align*}}$

となって常に正なので、

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cosh \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{\cosh x + 1}{2}} \end{align*}}$

を得ます。　ただし、 ${ \sinh x }$ の半角の公式の形に合わせた方が綺麗なので、半角の公式として (1) 式を用いることにします。　最後は ${ \tanh x }$ の半角の公式は、 ${ \sinh x,\, \cosh x }$ の半角の公式より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \tan^2 \frac{x}{2} = \frac{\sinh^2 x}{\cosh^2 x} = \frac{\cosh x - 1}{\cosh x + 1} \end{align*}}$

公式まとめ

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sinh^2 x &= \frac{\cosh x - 1}{2} \\ \cosh^2 x &= \frac{\cosh x + 1}{2} & \left(\cosh \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{\cosh x - 1}{2}} \right) \\ \tanh^2 x &= \frac{\cosh x - 1}{\cosh x + 1} \end{align*}}$