もしも高校で双曲線関数をやったなら (8) ：双曲線関数の積和の公式

双曲線関数の公式を見ていくシリーズ（目次）。　今回は双曲線関数の積和の公式を見ていきます。　積和の公式とは、双曲線関数の積（ ${ \sinh x \cosh x }$ など）を和（ ${ \sinh x + \sinh x }$ など）で表す公式です。　元になっているのはやはり以前導いた加法定理です。　双曲線関数の積和の公式も三角関数の場合同様、加法定理の和差から求められます。　双曲線関数の加法定理はこんなのでした：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sinh(x + y) &= \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y & \cdots(5) \\ \sinh(x - y) &= \sinh x \cosh y - \cosh x \sinh y &\cdots(6) \\[4mm] \cosh(x + y) &= \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y &\cdots(7) \\ \cosh(x - y) &= \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y &\cdots(8) \end{align*}}$

よって、(5)+(6) より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sinh x \cosh y = \frac{1}{2}\big\{\sinh(x+y) + \sinh(x-y)\big\} \end{align*}}$

(5)-(6) より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cosh x \sinh y = \frac{1}{2}\big\{\sinh(x+y) - \sinh(x-y)\big\} \end{align*}}$

(7)+(8) より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cosh x \cosh y = \frac{1}{2}\big\{\cosh(x+y) + \cosh(x-y)\big\} \end{align*}}$

(7)-(8) より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sinh x \sinh y = \frac{1}{2}\big\{\cosh(x+y) - \cosh(x-y)\big\} \end{align*}}$

${ \sinh x \sinh y }$ のマイナス符号が無くなってる以外は三角関数の場合と同じです。　むしろ双曲線関数の場合の方が覚えやすいです。

公式まとめ

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sinh x \cosh y &= \frac{1}{2}\big\{\sinh(x+y) + \sinh(x-y)\big\} \\ \cosh x \sinh y &= \frac{1}{2}\big\{\sinh(x+y) - \sinh(x-y)\big\} \\ \cosh x \cosh y &= \frac{1}{2}\big\{\cosh(x+y) + \cosh(x-y)\big\} \\ \sinh x \sinh y &= \frac{1}{2}\big\{\cosh(x+y) - \cosh(x-y)\big\} \end{align*}}$