あれ、部分分数に分解して計算する級数って、もうちょっとキチンと解かないといけなくない？

高校数学の数列に出てくる以下のような級数（和）の計算を考えましょう：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} S_n &= \sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)} \\ &= \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{(n-1)n} + \frac{1}{n(n+1)} \end{align*} }$

この級数を計算するには、各項が以下のように部分分数分解できることを使います：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \end{align*} }$

これを用いて Sn は以下のように計算するのでした：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} S_n &= \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) \\ &= \left(\tfrac{1}{1} - \not\!\tfrac{1}{2}\right) + \left(\not\!\tfrac{1}{2} - \not\!\tfrac{1}{3}\right) + \left(\not\!\tfrac{1}{3} - \not\!\tfrac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\;\not\!\!\!\!\tfrac{1}{n-1} - \not\!\tfrac{1}{n}\right) + \left(\not\!\tfrac{1}{n} - \tfrac{1}{n+1}\right) \\ &= 1 - \frac{1}{n+1} \\ &= \frac{n}{n+1} \end{align*} }$

さて、この計算で和を書き下した2行目は複数の項があることを前提として書いていますが、もし ${ n=1 }$ だと1つしか項がなくて互いに打ち消しあう項なんてないですよね。　それをまとめて書いていいのかなぁ？なんてちょっと気になるんですが、今の場合は ${ \frac{1}{k} }$ で残る項と ${ -\frac{1}{k+1} }$ で残る項が同じ ${ k=1 }$ のところから現れているだけなので、まぁ許容範囲でしょう。　別に n=1 のときを場合分けして解く必要なんてないと思います。

では次の例ではどうでしょう？

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} T_n &= \sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+2)} \\ &= \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \cdots + \frac{1}{(n-1)(n+1)} + \frac{1}{n(n+2)} \end{align*} }$

これも高校でよく出てくる問題ですね。　解法は上記と同じように部分分数分解をします：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right) \end{align*} }$

で、和も同じような方法で計算できそうです：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} T_n &= \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\right) \\ &= \tfrac{1}{2}\big\{\left(\tfrac{1}{1} - \not\!\tfrac{1}{3}\right) + \left(\tfrac{1}{2} - \not\!\tfrac{1}{4}\right) + \left(\not\!\tfrac{1}{3} - \not\!\tfrac{1}{5}\right) + \cdots \\ & \qquad + \left(\;\not\!\!\!\!\tfrac{1}{n-2} - \not\!\tfrac{1}{n}\right) + \left(\;\not\!\!\!\!\tfrac{1}{n-1} - \tfrac{1}{n+1}\right) + \left(\not\!\tfrac{1}{n} - \tfrac{1}{n+2}\right) \big\} \\ &= \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}\right) & \cdots (*) \\ &= \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)} \end{align*} }$

一見問題なさそうですが、具体的な ${ n }$ の値について級数を書き下してみると、まず ${ n=3 }$ のとき

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} T_3 = \tfrac{1}{2}\left\{\left(\tfrac{1}{1} - \not\!\tfrac{1}{3}\right) + \left(\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{4}\right) + \left(\not\!\tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{5}\right)\right\} \end{align*} }$

これは問題なし。　次は n=2 のとき

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} T_2 = \tfrac{1}{2}\left\{\left(\tfrac{1}{1} - \tfrac{1}{3}\right) + \left(\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{4}\right)\right\} \end{align*} }$

打ち消しあう項はありませんが、残る項が4つで (*) 式とは一致していて、まぁ許容範囲。　そして ${ n=1 }$ のとき

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} T_1 = \tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{1} - \tfrac{1}{3}\right) \end{align*} }$

えっと、これ (*) 式とは見た目全然違うよなぁ。　 ${ n=1 }$ のとき (*) 式括弧内の第2項と第3項が打ち消しあって、値としては確かに一致してるんだけど、なんだか腑に落ちないと思うのは拙者だけ？　 ${ n=1 }$ の場合だけ別に計算して、 ${ n \ge 2 }$ の場合の式に含まれることを示した方がよくないのかなぁと疑問。　青チャート見たけど特に何も注意書きとか書かれてなかったなぁ*1。　 ${ n=1 }$ の時も値が一致するのは常識なのかな？

追記 1

上記の場合の ${ n = 1 }$ のときにも成り立つことのもう少し一般的な証明（の手がかり）を『部分分数に分解して和を計算する級数について　-双対性?-』に書きました。

追記 2

以下のようにすると場合分けしなくても導けるようです：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} T_n &= \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\right) \\ &= \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n \left\{\left(\frac{1}{k} + \frac{1}{k+1}\right) - \left(\frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}\right)\right\} \\ &= \frac{1}{2}\left\{\left(1 + \frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2}\right)\right\} \\ &= \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)} \end{align*}}$