もしも高校で双曲線関数をやったなら (10) ：双曲線関数 tanh の加法定理　再考

双曲線関数の公式を見ていくシリーズ（目次）。　以前に双曲線関数の加法定理を導きましたが、 ${ \tanh }$ の加法定理は積和の公式を使うと別の形にまとめることができます。　三角関数の場合と同様にして

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \tanh (x + y) &= \frac{\sinh(x + y)}{\cosh(x + y)} \\ &= \frac{\sinh(x + y)\cosh(x - y)}{\cosh(x + y)\cosh(x - y)} \\ &= \frac{\frac{1}{2}\left(\sinh 2x + \sinh 2y \right)}{\frac{1}{2}\left(\cosh 2x + \cosh 2y \right)} \\ &= \frac{\sinh 2x + \sinh 2y}{\cosh 2x + \cosh 2y} \end{align*}}$

これまた三角関数の場合と同様に、 ${ y \rightarrow -y }$ の置き換えをして負の引数の公式を用いると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \tanh (x - y) = \frac{\sinh 2x - \sinh 2y}{\cosh 2x + \cosh 2y } \end{align*}}$

となります。

公式まとめ

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \tanh (x + y) &= \frac{\sinh 2x + \sinh 2y}{\cosh 2x + \cosh 2y } \\[2mm] \tanh (x - y) &= \frac{\sinh 2x - \sinh 2y}{\cosh 2x + \cosh 2y } \end{align*}}$