二項係数の自乗の和に関する公式

前回、二項係数の加法定理（加法公式）を使って、『級数・フーリエ解析 (岩波数学公式 2)』に載っている、二項係数を2つ含む級数の公式をいくつか導きました。　ただ、いくつか加法定理からは導けない公式があったので、今回はそれらを別の方法で導いてみます。

とある公式の導出

二項係数は以下の冪展開の係数で与えられるのでした：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} (1+x)^n &= \sum_{p=0}^\infty \binom{n}{p}x^p & \cdots (1) \end{align*}}$

この展開式で ${ x \rightarrow -x }$ の変数変換を施すと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} (1-x)^n &= \sum_{p=0}^\infty (-1)^p \binom{n}{p}x^p & \cdots (2) \end{align*}}$

を得ます。　(1), (2) 式の辺々を掛けて、前回やったような和の取り方の変更を施すと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} (1+x)^n(1-x)^n &= \sum_{r=0}^\infty \binom{n}{r}x^r \sum_{s=0}^\infty (-1)^s\binom{n}{s}x^s \\ &= \sum_{r=0}^\infty\sum_{s=0}^\infty (-1)^s \binom{n}{r}\binom{n}{s}x^{r+s} \\ &= \sum_{p=0}^\infty\sum_{r=0}^p (-1)^{p-r} \binom{n}{r}\binom{n}{p-r}x^p & \cdots (3) \qquad (p = r+s) \end{align*}}$

また、上式の左辺の関数は以下のようにも冪展開できます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} (1+x)^n(1-x)^n &=\left (1-x^2\right)^n \\ &= \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \binom{n}{m}x^{2m} & \cdots (4) \qquad (\because (2) \;\textrm{with}\; x \rightarrow x^2) \end{align*}}$

(3), (4) を見比べると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sum_{r=0}^p (-1)^{p-r} \binom{n}{r}\binom{n}{p-r} &= \begin{cases} \displaystyle (-1)^m \binom{n}{m} & (p = 2m) \\[4mm] 0 & (p = 2m+1) \end{cases} \end{align*}}$

特に ${ p = n }$ のとき

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sum_{r=0}^n (-1)^{r} \binom{n}{r}^2 &= \begin{cases} \displaystyle (-1)^m \binom{2m}{m} = (-1)^m\frac{(2m)!}{(m!)^2} & (n = 2m) \\[4mm] 0 & (n = 2m+1) \end{cases} \end{align*}}$