2次元で「平行移動 + 回転 = 回転」も示しておくよ

前回に「回転の後に平行移動を施すと、別の点の周りの回転になる」ことを示しました。　今回は先に平行移動して、その後に回転を施した場合にも、別の点の周りの回転になることを示します。　また、その回転の中心も求めます。

「平行移動 + 回転 = 回転」の証明

前回と同じように同次座標を用います。　その他の記号も前回参照。

「平行移動 + 回転」

${ x,\,y }$ 方向にそれぞれ ${ p,\,q }$ だけ平行移動する変換を ${ D(p,\,q) }$ 、原点の周りに角度 ${ \theta }$ だけ回転する変換を ${ R(\theta) }$ とすると、「平行移動 + 回転」の変換は

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} R(\theta)D(p,\,q) &= \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & p \\ 0 & 1 & q \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & p\cos\theta - q\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta & p\sin\theta + q\cos\theta \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align*} }$

となります。　前回の「回転 + 平行移動」に比べて3列目がちょっと複雑。

原点以外の点の周りの回転

これは前回やったので結果だけ。　点 ${ A(a,\,b) }$ の周りに角度 ${ \theta }$ だけ回転する変換は

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} D(a,\,b)R(\theta)D(-a,\,-b) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & -a\cos\theta + b\sin\theta + a \\ \sin\theta & \cos\theta & -a\sin\theta - b\cos\theta + b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align*} }$

でした。

これが等価な変換になるためには・・・

回転角は同じになる必要があるのは前回の場合と同じ。　で、3列目が等しくなるためには

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \begin{cases} p\cos\theta - q\sin\theta &= -a\cos\theta + b\sin\theta + a \\ p\sin\theta + q\cos\theta &= -a\sin\theta - b\cos\theta + b \end{cases} \qquad \cdots (1) \end{align*} }$

これを ${ a,\,b }$ についての連立方程式とみて、 ${ a,\,b }$ を ${ p,\,q,\,\theta }$ で表してやれば OK。　これはそんなに難しくありませんが、まず、前回同様、点 ${ A(a,\,b) }$ がどのあたりにあるのかを見てみましょう。　(1) 式より

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \begin{cases} (p + a)\cos\theta - (q + b)\sin\theta &= a \\ (p + a)\sin\theta + (q + b)\cos\theta &= b \end{cases} \end{align*} }$

各式の両辺を自乗して、辺々を加えると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} (p+a)^2 + (q+b)^2 = a^2 + b^2 \end{align*} }$

となります。　この方程式で表される点 ${ A(a,\,b) }$ は、点 ${ P(p,\,q) }$ と原点に関して対称な点を ${ P'(-p,\,-q) }$ として、原点と点 ${ P' }$ から等距離にあることが分かります。　つまり、線分 ${ OP' }$ の垂直二等分線上にあります。　ちなみに、前回の回転の中心は線分 ${ OP }$ の垂直二等分線上にあるのでした。

さて、(1) 式に戻って、これを ${ a,\,b }$ について解いて見ましょう。　行列の形で書くと

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1-\cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & 1-\cos\theta\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix} \end{align*} }$

回転行列 ${ R(\theta) }$ と前回用いた行列 ${ \Theta(\theta) }$ *1 を用いると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} R(\theta)\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} &= \Theta(\theta) \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} & \left( \Theta(\theta) = \begin{pmatrix} 1-\cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & 1-\cos\theta\end{pmatrix} \right) \end{align*} }$

両辺に左から ${ \Theta^{-1}(\theta) }$ をかけると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} &= \Theta^{-1}(\theta)R(\theta)\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ &= \tfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -\cot\tfrac{\theta}{2} \\ \cot\tfrac{\theta}{2} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ &= -\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & \cot\tfrac{\theta}{2} \\ -\cot\tfrac{\theta}{2} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \end{align*} }$

よって

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \begin{cases} a &= -\tfrac{1}{2}\left(p + q\cot\tfrac{\theta}{2}\right) \\ b &= -\tfrac{1}{2}\left(-p\cot\tfrac{\theta}{2} + q\right) \end{cases} \end{align*} }$

となります。　これは、線分 ${ OP' }$ の中点を ${ M' }$ として、 ${ \angle OAM' = \tfrac{\theta}{2} }$ もしくは（ ${ \angle OM'A = \tfrac{\pi}{2} }$ より） ${ \angle AOM' = \tfrac{\pi-\theta}{2} }$ となる位置に点 ${ A }$ があることを示しています。　この説明だけだと、点 ${ A }$ は線分 ${ OP' }$ の垂直二等分線上で ${ M' }$ にとってどちら側にあるのか限定できてませんが（これは前回も同じでしたが。　図でお茶を濁してました）、ちょっと示すのが面倒なので省略します。　とりあえず、「平行移動 + 回転」も別の点の周りの回転で表せる、ということは示せました。