2次元ベクトルの分解 - 倭算数理研究所

任意の2次元ベクトルをいくつかの基底（正規直交基底、、直交基底、斜交基底？）に分解する公式を導いてみます。

正規直交基底への分解
直交基底への分解
任意の2つのベクトルへの分解（斜交座標系）
まとめ

正規直交基底への分解

${ x,\,y }$ 方向の単位ベクトルをそれぞれ ${ \textbf{i},\,\textbf{j} }$ とすると、これらは以下を満たします：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |\textbf{i}| &= |\textbf{j}| = 1 & \textbf{i}\cdot\textbf{j} &= 0 & \qquad \cdots (1) \end{align*}}$

このとき、任意のベクトル ${ \textbf{x} }$ に対して以下を満たす係数 ${ k_1,\,k_2 }$ を求めましょう：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textbf{x} = k_1\textbf{i} + k_2\textbf{j} \end{align*}}$

${ \textbf{i},\,\textbf{j} }$ の正規直交性 (1) を用いると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textbf{x}\cdot\textbf{i} &= k_1 & \textbf{x}\cdot\textbf{j} &= k_2 \end{align*}}$

と求まるので、結局

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \textbf{x} = (\textbf{x}\cdot\textbf{i})\textbf{i} + (\textbf{x}\cdot\textbf{j})\textbf{j} \end{align*}}$

となります。

直交基底への分解

${ x,\,y }$ 方向の基底ベクトルをそれぞれ ${ \textbf{a},\,\textbf{b} }$ とします：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |\textbf{a}| &= a & |\textbf{b}| &= b & \textbf{a}\cdot\textbf{b} &= 0 \end{align*}}$

このとき正規直交基底 ${ \textbf{i},\, \textbf{j} }$ は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textbf{i} &= \frac{\textbf{a}}{a} & \textbf{j} &= \frac{\textbf{b}}{b} \end{align*}}$

となるので、前節の結果を使うと、任意のベクトル ${ \textbf{x} }$ は以下のように分解できます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textbf{x} &= \left(\textbf{x}\cdot\frac{\textbf{a}}{a}\right)\,\frac{\textbf{a}}{a} + \left(\textbf{x}\cdot\frac{\textbf{b}}{b}\right)\,\frac{\textbf{b}}{b} \\ &= \left(\frac{\textbf{x}\cdot\textbf{a}}{\textbf{a}^2}\right)\textbf{a} + \left(\frac{\textbf{x}\cdot\textbf{b}}{\textbf{b}^2}\right)\textbf{b} \end{align*}}$

結果だけ書くと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textbf{x} &= \left(\frac{\textbf{x}\cdot\textbf{a}}{\textbf{a}^2}\right)\textbf{a} + \left(\frac{\textbf{x}\cdot\textbf{b}}{\textbf{b}^2}\right)\textbf{b} \end{align*}}$

となります。

任意の2つのベクトルへの分解（斜交座標系）

上記2つの場合は（敢えて）成分を使わずに計算してみましたが、今の場合は成分を使って計算した方が楽。

基底ベクトル

2つの基底ベクトル ${ \textbf{a},\,\textbf{b} }$ の成分を以下のように定めましょう：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textbf{a} &= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\end{pmatrix} & \textbf{b} &= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\end{pmatrix} \end{align*}}$

これらが基底を成すために、互いに平行ではいという条件が必要。　この条件は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_1 b_2 - a_2 b_1 \ne 0 \end{align*}}$

と書けます。　ここで少し記法の導入。　2つの2次元縦ベクトル ${ \textbf{p},\,\textbf{q} }$ を横に並べて作った2次の正方行列とその行列式をそれぞれ ${ (\textbf{p}\;\textbf{q}) ,\, |\textbf{p}\;\textbf{q}| }$ と表しましょう。　つまり ${ \textbf{p} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2\end{pmatrix},\,\textbf{q} = \begin{pmatrix} q_1 \\ q_2\end{pmatrix} }$ とするとき

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} (\textbf{p} \; \textbf{q}) &= \begin{pmatrix} p_1 & q_1 \\ p_2 & q_2 \end{pmatrix} & |\textbf{p} \; \textbf{q}| &= \begin{vmatrix} p_1 & q_1 \\ p_2 & q_2 \end{vmatrix} = p_1q_2 - p_2q_1 \end{align*}}$

となります。　このとき ${ \textbf{a},\,\textbf{b} }$ が基底をなす（平行でない）という条件は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |\textbf{a}\;\textbf{b}| \ne 0 \end{align*}}$

と書くことができます。

任意のベクトルの分解

任意の分解したいベクトル ${ \textbf{x} }$ の成分を以下のようにします：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textbf{x} &= \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} \end{align*}}$

このとき、 ${ \textbf{x} }$ を以下のように係数 ${ k_1,\,k_2 }$ を使って分解できたとしましょう：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textbf{x} &= k_1 \textbf{a} + k_2 \textbf{b} & \cdots (2) \end{align*}}$

この ${ k_1,\,k_2 }$ を ${ \textbf{x},\,\textbf{a},\,\textbf{b} }$ で表せれば OK。　(2) 式を成分で書き下して少し変形すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= k_1\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + k_2\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} k_1a_1 + k_2b_1 \\ k_1a_1 + k_2b_2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \end{pmatrix} \\ &= (\textbf{a} \; \textbf{b})\begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \end{pmatrix} \end{align*}}$

左から ${ (\textbf{a} \; \textbf{b})^{-1} }$ を掛けて

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \end{pmatrix} &= (\textbf{a} \; \textbf{b})^{-1}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{|\textbf{a} \; \textbf{b}|} \begin{pmatrix}b_2 & -b_1 \\ -a_2 & a_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{|\textbf{a} \; \textbf{b}|}\begin{pmatrix} b_2x - b_1y \\ -a_2x + a_1y \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{|\textbf{a} \; \textbf{b}|} \begin{pmatrix} |\textbf{x} \; \textbf{b}| \\ |\textbf{a} \; \textbf{x}| \end{pmatrix} \\ \end{align*}}$

つまり

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} k_1 &= \frac{|\textbf{x} \; \textbf{b}|}{|\textbf{a} \; \textbf{b}|} & k_2 &= \frac{|\textbf{a} \; \textbf{x}|}{|\textbf{a} \; \textbf{b}|} \end{align*}}$

を得ます。　分解の係数が得られたので (2) 式に代入し直すと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textbf{x} &= \frac{|\textbf{x} \; \textbf{b}|}{|\textbf{a} \; \textbf{b}|} \textbf{a} + \frac{|\textbf{a} \; \textbf{x}|}{|\textbf{a} \; \textbf{b}|} \textbf{b} \end{align*}}$

となります。

${ \textbf{a},\,\textbf{b} }$ が直交するときは・・・

基底ベクトル ${ \textbf{a},\,\textbf{b} }$ が直交するときは、上記の表式は前節の「直交基底への分解」の式と等価になるはずですね。　ただし、あまり自明ではないので一応確かめておきましょう。

${ \textbf{x} }$ と ${ \textbf{a} }$ のなす角を ${ \theta }$ とします。　簡単のため ${ 0 \le \theta \le \tfrac{\pi}{2} }$ とし、 ${ \theta = \tfrac{\pi}{2} }$ のとき ${ \textbf{x} }$ は ${ \textbf{b} }$ に重なるとします。　 ${ \textbf{x},\,\textbf{b} }$ のなす角は ${ \tfrac{\theta}{2} - \theta }$ となります。これらの関係と公式

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textbf{p}\cdot\textbf{q} &= |\textbf{p}||\textbf{q}|\cos\theta \\ |\textbf{p} \; \textbf{q}| &= p_1q_2 - p_2q_1 = \sqrt{|\textbf{p}|^2|\textbf{q}|^2 - (\textbf{p}\cdot\textbf{q})^2} \\ &= |\textbf{p}||\textbf{q}|\sin\theta \end{align*}}$

（ ${\theta}$ は ${ \textbf{p},\,\textbf{q} }$ のなす角）を用いると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |\textbf{a} \; \textbf{b}| &= |\textbf{a}||\textbf{b}| \\ |\textbf{a} \; \textbf{x}| &= |\textbf{a}||\textbf{x}|\sin\theta = |\textbf{a}||\textbf{x}|\cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right) \\ |\textbf{x} \; \textbf{b}| &= |\textbf{b}||\textbf{x}|\sin\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right) = |\textbf{b}||\textbf{x}|\cos\theta \end{align*}}$

となります。　これを分解の式に代入すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textbf{x} &= \frac{|\textbf{b}||\textbf{x}|\cos\theta}{|\textbf{a}||\textbf{b}|} \textbf{a} + \frac{|\textbf{a}||\textbf{x}|\cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)}{|\textbf{a}||\textbf{b}|} \textbf{b} \\ &= \frac{|\textbf{x}|\cos\theta}{|\textbf{a}|} \textbf{a} + \frac{|\textbf{x}|\cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)}{|\textbf{b}|} \textbf{b} \\ &= \left(\frac{\textbf{a}\cdot\textbf{x}}{\textbf{a}^2}\right) \textbf{a} + \left(\frac{\textbf{b}\cdot\textbf{x}}{\textbf{b}^2}\right) \textbf{b} \\ \end{align*}}$