36°の三角比 - 倭算数理研究所

ちょっと後日使うので36°の三角比の値を求めてみます。　高校数学レベルの問題。　ここでは正五角形を使って図形的に求める幾何学的方法と、36°が満たす三角方程式を解く代数的方法代を見ていきます。

幾何学的方法

1辺の長さが1の正五角形を考えます。　対角線の長さ（すべて同じ長さ）を ${ x }$ として、下図において
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互いに相似な青と赤の二等辺三角形に着目して

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} & 1 : x = x-1 : 1 \\ \therefore & x^2 - x - 1 = 0 \end{align*} }$

この2次方程式を2次方程式の解の公式を使って解くと、 ${ x > 1 }$ より

　　 $x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

となります*1。

次に下図のような直角三角形に注目すると

底辺の長さは ${ \frac{x}{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} }$ となるので、余弦の定義より

　　 $\cos 36^\circ = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

を得ます。　他の三角比の値は次節の代数的方法と同様に導ける（そちらでは正弦から余弦・正接を導いてますが）のでここでは省略。

代数的方法

${ \theta = \frac{\pi}{5} \left( = 36^\circ \right) }$ は以下の ${ \theta }$ についての三角方程式（三角比を含む方程式）を満たします：

　　 $\sin 5\theta = 0 \qquad\cdots (*)$

逆にこの方程式を ${ 0 \le \theta < 2\pi }$ の範囲で解くと

　　 ${ \displaystyle \theta = \frac{n\pi}{5} \qquad \left(n \in \textbf{N},\,0 \le n < 10\right) }$

という10個の解が得られます。　 ${ \theta = 0,\,\pi }$ はほとんど自明と言っていい解で、またその他の解の三角比の値は ${ \theta = \frac{\pi}{5},\,\frac{2\pi}{5} \left( = 36^\circ,\,72^\circ \right) }$ の値が分かれば簡単に得られます。　この2つの角度は第1象限内にあるので、三角比の値が正となります。　よって以下では三角比の値として正のもののみを考えます。

さて、このままでは ${ \frac{\pi}{5},\,\frac{2\pi}{5} }$ の三角比の値は分からないので、三角方程式 (*) の左辺を ${ \sin\theta }$ の多項式に変形して*2、それを代数方程式として解いて ${ \sin\theta }$ の値を求めます。　まず左辺の ${ \sin 5\theta }$ を三角関数の

などを使って（他にも使ってますが）変形すると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sin 5\theta &= \sin3\theta \cos 2\theta + \cos 3\theta \sin 2\theta \\ &= (3\sin\theta - 4\sin^3\theta)(1 - 2\sin^2\theta) + (4\cos^3\theta - 3\cos\theta)\cdot 2\sin\theta \cos\theta \\ &= \sin\theta (3 - 4\sin^2\theta)(1 - 2\sin^2\theta) + 2\sin\theta \cos^2\theta (4\cos^2\theta - 3) \\ &= \sin\theta \left\{ (3 - 4\sin^2\theta)(1 - 2\sin^2\theta) + 2(1 - \sin^2\theta) (1 - 4 \sin^2\theta) \right\} \\ &= \sin\theta (16\sin^4\theta -20 \sin^2\theta + 5) \end{align*} }$

よって三角方程式 (*) は

　　 $\sin\theta (16\sin^4\theta - 20 \sin^2\theta + 5) = 0$

となります。　 ${ \sin\theta = 0 \quad (\theta = 0,\,\pi) }$ の場合には興味が無いので、

　　 $16\sin^4\theta - 20 \sin^2\theta + 5 = 0$

を解けばよいことになります。　これは ${ \sin^2\theta }$ の2次方程式なので2次方程式の解の公式で簡単に解けて（正弦の値として正の値のもののみを考えてます）

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sin^2 \theta &= \frac{10 \pm \sqrt{10^2 - 16 \cdot 5}}{16} \\ &= \frac{5 \pm \sqrt{5}}{8} \\[4mm] \sin \theta &= \frac{\sqrt{5 \pm \sqrt{5}}}{2\sqrt{2}} \\ &= \frac{\sqrt{10 \pm 2\sqrt{5}}}{4} \end{align*} }$

を得ます。　大小関係を考えれば、複号が - の方が ${ \frac{\pi}{5} }$ 、+ の方が ${ \frac{2\pi}{5} }$ であることが分かります。　複号それぞれに対応する余弦の値も計算できて（やはり正の値のもののみを考えて）

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \cos^2\theta &= 1 - \sin^2\theta \\ &= \frac{3 \mp \sqrt{5}}{8} \\[2mm] \cos\theta &= \sqrt{\frac{3 \mp \sqrt{5}}{8}} = \frac{\sqrt{6 \mp 2\sqrt{5}}}{4} \\ &= \frac{\sqrt{5} \mp 1}{4} \end{align*} }$

正接は ${ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} }$ からも求まりますが、 ${ 1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta} }$ から求めると複号が混ざらなくていいでしょう。

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \tan^2\theta &= \frac{1}{\cos^2\theta} - 1 \\ &= \frac{8}{3 \mp \sqrt{5}} - 1 = 2(3 \pm \sqrt{5}) - 1 \\ &= 5 \pm 2\sqrt{5} \\[2mm] \tan\theta &= \sqrt{5 \pm 2\sqrt{5}} \end{align*} }$

以上をまとめると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sin \frac{\pi}{5} &= \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4} & \cos \frac{\pi}{5} &= \frac{\sqrt{5} + 1}{4} & \tan \frac{\pi}{5} &= \sqrt{5 - 2\sqrt{5}} \\[4mm] \sin \frac{2\pi}{5} &= \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4} & \cos \frac{2\pi}{5} &= \frac{\sqrt{5} - 1}{4} & \tan \frac{2\pi}{5} &= \sqrt{5 + 2\sqrt{5}} \end{align*} }$

記事タイトル的に度数法で書き換えておくとしましょう。

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sin 36^\circ &= \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4} & \cos36^\circ &= \frac{\sqrt{5} + 1}{4} & \tan 36^\circ &= \sqrt{5 - 2\sqrt{5}} \\[4mm] \sin 72^\circ &= \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4} & \cos 72^\circ &= \frac{\sqrt{5} - 1}{4} & \tan 72^\circ &= \sqrt{5 + 2\sqrt{5}} \end{align*} }$