正多角形の面積 - 倭算数理研究所

正多角形の面積を求めます。　高校数学の問題集に載ってるレベルの問題です。

正 ${ n }$ 角形の1辺の長さを ${ a }$ 、重心（正 ${ n }$ 角形の外心と一致する） O と頂点の距離を ${ R }$ （これは外接円の半径でもある）とします：

図中の点 A, B は正 ${ n }$ 角形の隣り合う頂点、点 M は辺 AB の中点です。　 ${ \angle\textrm{AOB} = \frac{2\pi}{n} }$ となりますね。

${ a }$ と ${ R }$ との関係

まずは ${ a }$ と ${ R }$ の間の関係を求めておきましょう。　△OAM に注目すると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \textrm{AM} &= R\sin\frac{\pi}{n} \\ \therefore \; a &= 2R\sin\frac{\pi}{n} \qquad \left(R = \frac{a}{2\sin\frac{\pi}{n}}\right) \end{align*} }$

△OAB の面積

△OAB の面積を ${ s_n }$ とおくと、

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} s_n &= \frac{1}{2} \cdot \textrm{OA} \cdot \textrm{OB} \cdot \sin \angle\textrm{AOB} \\ &= \frac{1}{2} R^2 \sin \frac{2\pi}{n} \end{align*}}$

を得ます（普通に AB を底辺、OM を高さとして出しても OK）。　さらに ${ R }$ ではなく ${a}$ を使って表すと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} s_n &= \frac{1}{2} \left(\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{n}}\right)^2 \sin \frac{2\pi}{n} \\ &= \frac{1}{2} \frac{a^2}{4\sin^2 \frac{\pi}{n}} \cdot 2\sin\frac{\pi}{n}\cos\frac{\pi}{n} \\ &= \frac{a^2\cos\frac{\pi}{n}}{4\sin\frac{\pi}{n}} \\ &= \frac{a^2}{4\tan\frac{\pi}{n}} \end{align*}}$

正 ${ n }$ 角形の面積

では正 ${ n }$ 角形の面積を求めましょう。　この面積を ${ S_n }$ とおくと、 ${ S_n }$ は先ほど求めた ${ s_n }$ の ${ n }$ 倍なので

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} S_n &= ns_n \\[2mm] &= \frac{n}{2} R^2 \sin \frac{2\pi}{n} \\[2mm] &= \frac{na^2}{4\tan\frac{\pi}{n}} \end{align*}}$

まとめると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} S_n &= \frac{n}{2} R^2 \sin \frac{2\pi}{n} \\[2mm] &= \frac{na^2}{4\tan\frac{\pi}{n}} \qquad \left(a = 2R\sin\frac{\pi}{n}\right) \end{align*}}$

となります。

${ S_n }$ の具体的な値

いくつかの ${ n }$ の値について具体的に計算してみましょう。

正三角形 ( ${ n = 3 }$ )

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} S_3 &= \frac{3\sqrt{3}}{4} R^2 \\ &= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \qquad (a = \sqrt{3}R) \end{align*}}$

1辺の長さが ${ a }$ の正三角形の面積は ${ \frac{1}{2} a^2 \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 }$ で、確かに合ってますね。

正方形 ( ${ n = 4 }$ )

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} S_4 &= 2 R^2 \\ &= a^2 \qquad (a = \sqrt{2} R) \end{align*}}$

正方形の面積。　 ${ a }$ の表式はもちろん OK。　 ${ R }$ の表式は対角線が ${ 2R }$ となることより ${ \frac{1}{2}(2R)^2 = 2R^2 }$ となって、これも OK。

正五角形 ( ${ n = 5 }$ )

以前に計算した「36°の三角比」より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin \frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4} \qquad \tan \frac{\pi}{5} = \sqrt{5 - 2\sqrt{5}} \end{align*}}$

なので、 ${ R }$ を含む表式は簡単に導けて

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} S_5 = \frac{5\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{8} R^2 \end{align*}}$

また、 ${ a }$ を含む表式は

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} S_5 &= \frac{5a^2}{4\tan \frac{\pi}{5}} = \frac{5}{4 \sqrt{5 - 2\sqrt{5}}} a^2 = \frac{5\sqrt{5 + 2\sqrt{5}}}{4\sqrt{5}} a^2 \\[2mm] &= \frac{\sqrt{25 + 10\sqrt{5}}}{4} a^2 \end{align*}}$

${ a }$ と ${ R }$ の関係は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}R \end{align*}}$

となります。

正六角形 ( ${ n = 6 }$ )

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} S_6 &= \frac{3\sqrt{3}}{2} R^2 \\ &= \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \qquad (a = R) \end{align*}}$

正六角形では ${ a = R }$ ですな。　 ${ S_3 }$ の ${ a }$ の表式の6倍。

正八角形 ( ${ n = 8 }$ )

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} S_8 &= 2\sqrt{2} R^2 \end{align*}}$

${ a }$ を用いた表式では ${ \tan\frac{\pi}{8} }$ の値を求めておかないといけませんね。　三角関数の半角の公式より

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \tan^2 \frac{\pi}{8} &= \frac{1-\cos\frac{\pi}{4}}{1 + \cos\frac{\pi}{4}} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} \\ &= (\sqrt{2} - 1)^2 \\[2mm] \tan \frac{\pi}{8} &= \sqrt{2} - 1 \qquad (\because \tan\frac{\pi}{8} > 0) \end{align*}}$