正多角形の内接円の半径 - 倭算数理研究所

前回、一辺の長さが ${ a }$ の正多角形の面積を求めました。　そのとき、ついでに重心と頂点との交点との距離 ${ R }$ も求めましたが、これはこの正多角形の外接円の半径ともなってました。　今回は同じ正多角形の内接円の半径 ${ r }$ を求めます*1。

方法その1

上図より、直角三角形 OAM に注目して

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} r &= \textrm{AM} \cot\frac{\pi}{n} \\ &= \frac{a}{2\tan\frac{\pi}{n}} \end{align*} }$

終了。　ちなみに同じようにして外接円の半径 ${ R }$ と内接円の半径 ${ r }$ との関係も簡単に導けて、

　　 $r = R \cos \frac{\pi}{n}$

を得ます。

　　 ${ \displaystyle r = \frac{a}{2\tan\frac{\pi}{n}} = R\cos\frac{\pi}{n} }$

方法その2

内接円が多角形の全ての辺に接している場合、面積と各辺の長さから内接円の半径を導く方法もよく使われます。　前回、面積を求めたのでこの方法でもやってみましょう。　一辺の長さが ${ a }$ の正 ${ n }$ 角形の面積を ${ S_n }$ とすると、

　　 $S_n = \frac{na^2}{4\tan\frac{\pi}{n}}$

となるのでした。　一方、正 ${ n }$ 角形は、上図の△OAB と合同な ${ n }$ 枚の三角形に分割できるので、 ${ S_n }$ は内接円の半径 ${ r }$ を使って

　　 $S_n = \frac{n}{2}ar$

とも表すことができます。　これらが等しいとして

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \frac{n}{2}ar = \frac{na^2}{4\tan\frac{\pi}{n}} \\ r = \frac{a}{2\tan\frac{\pi}{n}} \end{align*} }$

となって、先ほどと同じ結果が得られました。

${ r }$ と ${ R }$ の具体的な値

それではいくつかの ${ n }$ の値について ${ r }$ と ${ R }$ を ${ a }$ で表しておきましょう（ ${ R }$ については前回やりましたが ${ r }$ との対比のため再掲します）。

正三角形 ( ${ n=3 }$ )

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} r &= \frac{1}{2\sqrt{3}}a = \frac{\sqrt{3}}{6}a \\[2mm] R &= \frac{\sqrt{3}}{3}a \qquad \left(r = \frac{1}{2}R\right) \end{align*} }$

正三角形では ${ R + r }$ は中線の長さ ${ \frac{\sqrt{3}}{2} }$ に等しい、とかも成り立ってます。

正方形 ( ${ n=4 }$ )

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} r &= \frac{1}{2}a \\[2mm] R &= \frac{1}{\sqrt{2}}a \qquad \left(r = \frac{1}{\sqrt{2}}R\right) \end{align*} }$

${ r }$ は一辺の長さの半分、 ${ R }$ は対角線の長さの半分ですね。

正五角形 ( ${ n=5 }$ )

以前の記事「36°の三角比」で求めたように、

　　 ${ \displaystyle \tan\frac{\pi}{5} = \sqrt{5 - 2\sqrt{5}} \qquad \cos\frac{\pi}{5} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4} }$

なので

　　 $r = \frac{1}{2\sqrt{5 - 2\sqrt{5}}} a = \frac{\sqrt{25 - 10\sqrt{5}}}{10} a$

また

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} r &= \frac{\sqrt{5} + 1}{4} R \\[2mm] R &= \frac{4}{\sqrt{5} + 1} r = \frac{4}{(\sqrt{5} +1)}\cdot \frac{1}{2\sqrt{5 - 2\sqrt{5}}} a = \frac{2}{\sqrt{(6 + 2\sqrt{5})(5 - 2\sqrt{5})}} a \\ &= \frac{2}{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}a \end{align*} }$

となります。　

正六角形 ( ${ n=6 }$ )

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} r &= \frac{\sqrt{3}}{2}a \\[2mm] R &= a \qquad \left(r = \frac{\sqrt{3}}{2}R\right) \end{align*} }$

外接円の半径 ${ R }$ と一辺の長さ ${ a }$ は等しいですね。

正八角形 ( ${ n=8 }$ )

前回求めたように ${ \tan\frac{\pi}{8} = \sqrt{2}-1 }$ なので

　　 $r = \frac{1}{2(\sqrt{2}-1)}a = \frac{\sqrt{2}+1}{2}a$

となります。　また、公式 ${ 1+\tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta} }$ より

　　 $\cos\frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

なので（ちょっと平方根の計算が込み入りますが）

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} r &= \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}} R = \sqrt{4 - 2\sqrt{2}} R \\[2mm] R &= \frac{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}}{2(\sqrt{2}-1)} a = \frac{\sqrt{2}\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2(\sqrt{2}-1)} a = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)} a = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2 - \sqrt{2}} a \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}a \end{align*} }$