倭算数理研究所

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グラフの平行移動を軌跡で理解する

高校数学

数学Iで頂点が原点でない2次関数をやる際にグラフの平行移動をやりますが、どんなグラフに対しても使える平行移動の仕方はきちんとやろうとすると数学IIで習う軌跡を使った説明が必要かと思います（必ずしも軌跡を使わなければいけないというわけではなく、軌跡を使って理解することもできるという程度かな）。　「軌跡を使えばできるよ」と言えば軌跡を使える人なら自力で簡単に出せると思いますが、一応やってみます。　 { x } 軸や { y } 軸、原点に関する対称移動も同じように導けます。

導出

f:id:waman:20160410030826p:plain

{ y = f(x) } 上の点 { A(x_1,\,y_1) } をとる。　 { x_1,\,y_1 } は

　　{ \displaystyle\begin{align*} y_1 = f(x_1) \quad\cdots (1) \end{align*}}

を満たす。　この点 { A } を { x } 方向に { p }、 { y } 方向に { q } だけ平行移動した点を { B(x_2,\,y_2) } とすると

　　{ \displaystyle\begin{align*} \begin{cases} x_2 = x_1 + p \\ y_2 = y_1 + q \end{cases} \end{align*}}

これを { x_1,\,y_1 } について解くと

　　{ \displaystyle\begin{align*} \begin{cases} x_1 = x_2 - p \\ y_1 = y_2 - q \end{cases} \quad\cdots(2) \end{align*}}

(2) 式を (1) 式に代入すると点 { B } の描く軌跡が得られる：

　　{ \displaystyle\begin{align*} y_2 - q &= f(x_2 - p) \\ \therefore y_2 & = f(x_2 - p) + q \end{align*}}

よって平行移動後のグラフの方程式（ { x_2,\,y_2 } が満たす方程式）は

　　{ \displaystyle\begin{align*} y = f(x - p) + q \end{align*}}

となる。【終わり】

軌跡の問題は代表点をとって「点の移動」として扱うのがミソと言えばミソですかね。

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