運動方程式の極座標表示～2次元～

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ（目次）。　前回はニュートン力学での2次元の運動方程式を極座標表示しましたが、今回はラグランジュ形式と正準形式（ハミルトン形式）での運動方程式を極座標で表します。

ラグランジュ形式

ポテンシャルが ${ V(\textbf{r}) }$ で与えられる系の直交座標でのラグランジアンは以下で与えられます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} L = \frac{1}{2}m\textbf{v}^2 - V(\textbf{r}) \qquad (\textbf{v} = \dot{\textbf{r}}) \end{align*}}$

変数の上のドット（ ${ \dot{x} }$ ）は時間微分を表すとします。　このラグランジアンを極座標表示しましょう。　直交座標と極座標は以下の様に関係しているのでした：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \begin{cases} x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta \end{cases} \end{align*}}$

これを用いて ${ \textbf{v} = \cdot{\textbf{r}} }$ の各成分を極座標とその時間微分で書き換えると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} v_x &= \dot{x} = \dot{r}\cos\theta - r \dot{\theta}\sin\theta \\ v_y &= \dot{y} = \dot{r}\sin\theta + r \dot{\theta}\cos\theta \\ \end{align*}}$

よって ${ \textbf{v}^2 }$ は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textbf{v}^2 &= \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \\ &= \left(\dot{r}\cos\theta - r \dot{\theta}\sin\theta\right)^2 + \left(\dot{r}\sin\theta + r \dot{\theta}\cos\theta\right)^2 \\ &= \dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 \end{align*}}$

となります。　これを用いてラグランジアンを極座標で書き換えると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} L = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{1}{2}m r^2 \dot{\theta}^2 - V(\textbf{r}) \end{align*}}$

を得ます。

運動方程式

上記のラグランジアンから運動方程式を導きましょう。　まずは動径 ${ r }$ から。　ラグランジアンから運動方程式を導く際には ${ r }$ と ${ \dot{r} }$ は別の変数として計算するんでしたね：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{r}} - \frac{\partial L}{\partial r} &= \frac{d}{dt}\left(m\dot{r}\right) - mr \dot{\theta}^2 + \frac{\partial V}{\partial r} \\ &= m\ddot{r} - mr \dot{\theta}^2 + \frac{\partial V}{\partial r} \end{align*}}$

よって動径方向の運動方程式は以下の様になります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} m\ddot{r} &- mr \dot{\theta}^2 + \frac{\partial V}{\partial r} = 0 \end{align*}}$

次は偏角 ${ \theta }$ 。　やることは動径の場合と同じ：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} - \frac{\partial L}{\partial \theta} &= \frac{d}{dt}\left(mr^2\dot{\theta}\right) + \frac{\partial V}{\partial \theta} \\ &= 2mr\dot{r}\dot{\theta} + mr^2\ddot{\theta} + \frac{\partial V}{\partial \theta} \end{align*}}$

よって偏角方向の運動方程式は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} mr^2\ddot{\theta} + 2mr\dot{r}\dot{\theta} + \frac{\partial V}{\partial \theta} = 0 \end{align*}}$

まとめると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} m\ddot{r} - mr \dot{\theta}^2 + \frac{\partial V}{\partial r} &= 0 \\ mr^2\ddot{\theta} + 2mr\dot{r}\dot{\theta} + \frac{\partial V}{\partial \theta} &= 0 \end{align*}}$

となり、前回にニュートン力学で得られた運動方程式と一致します。

正準形式

保存量がある場合に見つけやすくするために、正準形式に書き換えてはハミルトニアンと正準方程式を導いておきましょう。

正準運動量

まずは正準座標 ${ r,\,\theta }$ に共役な正準運動量 ${ p_r,\,p_\theta }$ を求めます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} p_r &= \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m \dot{r} \qquad& p_\theta &= \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = mr^2 \dot{\theta} \end{align*}}$

まぁ何てことないですね。　 ${ p_\theta }$ は角運動量になってますが、今はあまり気にする必要はありません。

ハミルトニアン

さて、この正準運動量を使って、ルジャンドル変換によってラグランジアンからハミルトニアンを導きましょう。　その前に一般化速度 ${ \dot{r},\,\dot{\theta} }$ を正準座標、正準運動量で表しておきます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \dot{r} &= \frac{p_r}{m} & \dot{\theta} &= \frac{p_\theta}{mr^2} \end{align*}}$

これを踏まえて、ルジャンドル変換によって変数 ${ \dot{r},\,\dot{\theta} }$ を ${ p_r,\,p_\theta }$ に変換してハミルトニアン ${ H }$ を求めましょう：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} H &= p_r \dot{r} + p_\theta \dot{\theta} - L \\ &= \frac{p_r^2}{m} + \frac{p_\theta^2}{mr^2} - \left[\frac{1}{2}m\left(\frac{p_r^2}{m}\right)^2 + \frac{1}{2}m r^2 \left(\frac{p_\theta}{mr^2}\right)^2 - V(\textbf{r})\right] \\ &= \frac{p_r^2}{2m} + \frac{p_\theta^2}{2mr^2} + V(\textbf{r}) \end{align*}}$

正準方程式

ハミルトニアンが導けたので、正準方程式（運動方程式）も導いておきましょう。　まずは動径成分：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \dot{r} &= \frac{\partial H}{\partial p_r} \qquad& \dot{p_r} &= -\frac{\partial H}{\partial r}\\ &= \frac{p_r}{m} & &= \frac{p_\theta^2}{mr^3} - \frac{\partial V}{\partial r} \end{align*}}$

同様にして偏角成分：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \dot{\theta} &= \frac{\partial H}{\partial p_\theta} \qquad& \dot{p_\theta} &= -\frac{\partial H}{\partial \theta} \\ &= \frac{p_\theta}{mr^2} & &= -\frac{\partial V}{\partial \theta} \end{align*}}$

これらの運動方程式をポテンシャルを与えて解くには、左側の正準座標の時間微分の式を正準運動量について解き直して右側の式に代入すればいいのですが、これはニュートン力学やラグランジュ形式の運動方程式と同じになります。　ただし、 ${ V(\textbf{r}) }$ が ${ \theta }$ に依存しない場合に ${ \dot{p}_\theta = 0 }$ となって ${ p_\theta }$ が保存することが分かります。