古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 前回、ラグランジアン形式と正準形式の運動方程式を極座標で表しましたが、今回は特にポテンシャル が中心力ポテンシャルの場合を考えます。
【この記事の内容】
ラグランジアンとハミルトニアン
中心力ポテンシャルとは、ポテンシャルが位置ベクトルの動径成分
特に です。 ラグランジアン
と ハミルトニアン
は以下のようになります:
正準方程式と角運動量保存
運動方程式を解くのはラグランジアン形式でも正準形式でも(少なくとも今の場合は)大して変わらないので正準形式でやりましょう。 中心力ポテンシャルの系の正準方程式は以下のようになります:
より
が保存量*1であることがわかります。
は角運動量と呼ばれ、中心力ポテンシャルのみがある系ではこの角運動量が保存されます。 ここではこの保存される角運動量の値が
であるとしましょう:
これを使って残りの正準方程式を書き換えると
となります。 の式からは、
が求まれば
が求まることが分かります。 よって、まずは上の2つの方程式から
を求めましょう。 この2式から
を消去すると
となり、動径が満たすべき方程式が得られます。
有効ポテンシャル
上記の
と書くことができます。 これはポテンシャルが の1次元1粒子の運動方程式と同じ形をしています。 よって、動径方向の運動方程式はポテンシャルに
という付加項がついた1次元の問題に帰着します。 この
は有効ポテンシャル (effective potential) と呼ばれます。
動径方程式を解く
さて、前節で得られた動径
は積分定数です。 ちょっと方程式を解くことから脱線しますが、上式を
と変形すると、左辺が動径方向の運動エネルギー、回転運動の運動エネルギー、ポテンシャルエネルギーの和で、それが(右辺の)定数に等しいというエネルギー保存の法則と解釈できます。 さて、話を元に戻して、積分後の式を について解いて、さらに変形して積分すると
は積分定数です。 右辺の
積分は
の具体的な形が与えられないと実行できませんが、この積分を実行した後で、結果を
について解けば
が求まります。 また、その解を
の正準方程式
に代入して時間積分を行うと が求まります。 まぁ多くの場合、書くは易し実行するは難し、ですが。
初期条件
有効ポテンシャルの観点から見ると、ポテンシャルの付加項回帰点の条件を式で表しておきましょう。 回帰点では動径方向の速度が0なので、
が条件となります。 この条件だけでは中心に最も近い回帰点かどうかは分かりませんが、2階微分の条件などを課すよりは個々の問題で適宜積分定数を選ぶ方が現実的でしょう。
ちなみに、
と書け、 が(積分定数だけど)系のエネルギーに対応することから、初期条件は
、つまり(動径方向の)速度がなくポテンシャルが最も高い状態に対応します。
ラグランジアン形式の場合
ラグランジアン形式でも
後は上記の正準形式の場合と同じステップで が解けます。
角運動量について
角運動量また、2つのベクトル について、ベクトル積
を
と定義すると(2次元なので結果はベクトルではない)、
に対して
となり、直交座標での運動量 を使って
であることが分かります。
【追記】
- 有効ポテンシャル、初期条件の箇所を追記しました。

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