中心力ポテンシャル中での質点の運動方程式～2次元～

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ（目次）。　前回、ラグランジアン形式と正準形式の運動方程式を極座標で表しましたが、今回は特にポテンシャル ${ V(\textbf{r}) }$ が中心力ポテンシャルの場合を考えます。

【この記事の内容】

ラグランジアンとハミルトニアン
正準方程式と角運動量保存
- 有効ポテンシャル
動径方程式を解く
- 初期条件
ラグランジアン形式の場合
角運動量について
- 【追記】

ラグランジアンとハミルトニアン

中心力ポテンシャルとは、ポテンシャルが位置ベクトルの動径成分 ${ r }$ のみに依り、偏角 ${ \theta }$ には依存しないポテンシャルです：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} V(\textbf{r}) = V(r) \end{align*}}$

特に ${ \frac{\partial V}{\partial \theta} = 0 }$ です。　ラグランジアン ${ L }$ とハミルトニアン ${ H }$ は以下のようになります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} L(r,\,\theta,\,\dot{r},\,\dot{\theta}) &= \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{1}{2}m r^2 \dot{\theta}^2 - V(r) \\ H(r,\,\theta,\,p_r,\,p_\theta) &= \frac{p_r^2}{2m} + \frac{p_\theta^2}{2mr^2} + V(r) \end{align*}}$

正準方程式と角運動量保存

運動方程式を解くのはラグランジアン形式でも正準形式でも（少なくとも今の場合は）大して変わらないので正準形式でやりましょう。　中心力ポテンシャルの系の正準方程式は以下のようになります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \dot{r} &= \frac{p_r}{m} \qquad& \dot{p_r} &= \frac{p_\theta^2}{mr^3} - \frac{dV(r)}{dr} \\ \dot{\theta} &= \frac{p_\theta}{mr^2} \qquad& \dot{p_\theta} &= 0 \end{align*}}$

${ \dot{p_\theta} = 0 }$ より ${ p_\theta }$ が保存量*1であることがわかります。　 ${ p_\theta }$ は角運動量と呼ばれ、中心力ポテンシャルのみがある系ではこの角運動量が保存されます。　ここではこの保存される角運動量の値が ${ \ell }$ であるとしましょう：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} p_\theta = \ell \end{align*}}$

これを使って残りの正準方程式を書き換えると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \dot{r} &= \frac{p_r}{m} \qquad& \dot{p_r} &= \frac{\ell^2}{mr^3} - \frac{dV(r)}{dr} \\ \dot{\theta} &= \frac{\ell}{mr^2} \end{align*}}$

となります。　 ${ \dot{\theta} }$ の式からは、 ${ r }$ が求まれば ${ \theta }$ が求まることが分かります。　よって、まずは上の2つの方程式から ${ r }$ を求めましょう。　この2式から ${ p_r }$ を消去すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} m\ddot{r} &= \frac{\ell^2}{mr^3} - \frac{dV(r)}{dr} \qquad\cdots(*) \end{align*}}$

となり、動径が満たすべき方程式が得られます。

有効ポテンシャル

上記の ${ r }$ についての微分方程式は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} m\ddot{r} &= - \frac{dV_\textrm{eff}(r)}{dr} \qquad \left(V_\textrm{eff}(r) = \frac{\ell^2}{2mr^2} + V(r)\right) \end{align*}}$

と書くことができます。　これはポテンシャルが ${ V_\textrm{eff}(r) }$ の1次元1粒子の運動方程式と同じ形をしています。　よって、動径方向の運動方程式はポテンシャルに ${ \frac{\ell^2}{2mr^2} }$ という付加項がついた1次元の問題に帰着します。　この ${ V_\textrm{eff}(r) }$ は有効ポテンシャル (effective potential) と呼ばれます。

動径方程式を解く

さて、前節で得られた動径 ${ r }$ に関する微分方程式 (*) を、中心力ポテンシャル ${ V(r) }$ の形を特定せずに解けるところまで解いてみましょう。　両辺に ${ \dot{r} }$ をかけて積分すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{1}{2}m\dot{r}^2 &= -\frac{\ell^2}{2mr^2} - V(r) + E \end{align*}}$

${ E }$ は積分定数です。　ちょっと方程式を解くことから脱線しますが、上式を

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{\ell^2}{2mr^2} + V(r) &= E \end{align*}}$

と変形すると、左辺が動径方向の運動エネルギー、回転運動の運動エネルギー、ポテンシャルエネルギーの和で、それが（右辺の）定数に等しいというエネルギー保存の法則と解釈できます。　さて、話を元に戻して、積分後の式を ${ \dot{r} }$ について解いて、さらに変形して積分すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \dot{r} &= \sqrt{\frac{2}{m}\left(E - V(r) - \frac{\ell^2}{2mr^2}\right)} \\ dt &= \sqrt{\frac{m}{2}}\frac{dr}{ \sqrt{E - V(r) - \frac{\ell^2}{2mr^2}}} \\ t - t_0 &= \sqrt{\frac{m}{2}}\int \frac{dr}{ \sqrt{E - V(r) - \frac{\ell^2}{2mr^2}}} \end{align*}}$

${ t_0 }$ は積分定数です。　右辺の ${ r }$ 積分は ${ V(r) }$ の具体的な形が与えられないと実行できませんが、この積分を実行した後で、結果を ${ r }$ について解けば ${ r }$ が求まります。　また、その解を ${ \dot{\theta} }$ の正準方程式

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \dot{\theta} &= \frac{\ell}{mr^2} \end{align*}}$

に代入して時間積分を行うと ${ \theta }$ が求まります。　まぁ多くの場合、書くは易し実行するは難し、ですが。

初期条件

有効ポテンシャルの観点から見ると、ポテンシャルの付加項 ${ \frac{\ell^2}{2mr^2} }$ のために、角運動量が0でないなら質点はある程度以上中心に近づけなくなります*2。　最も中心に近づいた点は回帰点 (turning point) と呼ばれます*3。　惑星運動では近日点に相当します。　通常、この回帰点が存在するなら、質点が回帰点（の1つ）に位置するときに ${ t = 0 }$ となるように積分定数 ${ t_0 }$ を定めます。

回帰点の条件を式で表しておきましょう。　回帰点では動径方向の速度が0なので、

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \left.\frac{dr}{dt}\right|_{t = 0} &= 0 \end{align*}}$

が条件となります。　この条件だけでは中心に最も近い回帰点かどうかは分かりませんが、2階微分の条件などを課すよりは個々の問題で適宜積分定数を選ぶ方が現実的でしょう。

ちなみに、

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \dot{r} &= \sqrt{\frac{2}{m}\left(E - V_\textrm{eff}(r)\right)} \end{align*}}$

と書け、 ${ E }$ が（積分定数だけど）系のエネルギーに対応することから、初期条件は ${ E = V_\textrm{eff}(r) }$ 、つまり（動径方向の）速度がなくポテンシャルが最も高い状態に対応します。

ラグランジアン形式の場合

ラグランジアン形式でも ${ r }$ についての微分方程式を解く部分以降は同じですが、ちょっと導入だけ。　ラグランジアンに（一般化）座標 ${ \theta }$ が直接含まれていないので、 ${ \theta }$ はサイクリックな座標*4です。　ラグランジアンにサイクリックな座標があると、それに共役な正準運動量 ${ p_\theta = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} }$ は保存されます。　なぜなら ${ \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0 }$ と運動方程式より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} &= 0 \\ \therefore \, \frac{d}{dt}p_\theta &= 0 \end{align*}}$

後は上記の正準形式の場合と同じステップで ${ r,\,\theta }$ が解けます。

角運動量について

角運動量 ${ p_\theta = mr^2\dot{\theta} }$ は面積速度 ${ \frac{1}{2} r^2 \dot{\theta} }$ に比例していることはすぐに分かります。

また、2つのベクトル ${ \textbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix},\, \textbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} }$ について、ベクトル積 ${ \textbf{a} \times \textbf{b} }$ を

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textbf{a} \times \textbf{b} = a_1b_2 - a_2b_1 \end{align*}}$

と定義すると（2次元なので結果はベクトルではない）、

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textbf{r} &= r\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix} & \dot{\textbf{r}} &= \dot{r}\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \end{pmatrix} \dot{\theta} \end{align*}}$