2次無理関数のとある積分公式

この記事では、以下の積分

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} I = \int\frac{dx}{\sqrt{ax^2 + bx + c}} \end{align*}}$

を実行してみます。　結果が実数関数であることを要請すると、 ${ a,\,b,\,c }$ の値によって ${ x }$ の範囲に制限が出てくる場合があるのでちょっと面倒。　後のために、被積分関数の平方根の中を平方完成しておきましょう：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} I &= \int\frac{dx}{\sqrt{a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}}} \end{align*}}$

では、いくつかの場合に分けて積分していきましょう。

${ a > 0 }$ のとき

この場合、さらに平方根の中の項 ${ \frac{b^2 - 4ac}{4a} }$ の符号によって場合分けする必要があります。　 ${ a > 0 }$ より、分子の ${ b^2 - 4ac }$ の符号を見れば充分です。

${ b^2 - 4ac < 0 }$ のとき

${ a > 0,\,b^2 - 4ac < 0 }$ のとき、任意の ${ x }$ について ${ ax^2 + bx + c > 0 }$ なので、 ${ x }$ に制限はつきません。

では積分の実行。　平方根の中が ${ \sinh^2\psi + 1 }$ に比例するように、積分変数を ${ x }$ から以下で定義される ${ \psi }$ へ変数変換しましょう：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sqrt{a}\left(x + \frac{b}{2a}\right) = \sqrt{- \frac{b^2 - 4ac}{4a}} \sinh\psi \qquad \left(\sqrt{a}dx = \sqrt{-\frac{b^2 - 4ac}{4a}}\,\cosh\psi d\psi\right) \end{align*}}$

このとき

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} I &= \frac{1}{\sqrt{a}}\int \frac{1}{\sqrt{\sinh^2\psi + 1}} \cosh\psi d\psi \\ &= \frac{1}{\sqrt{a}} \int d\psi \qquad \left(\because \cosh^2\psi - \sinh^2\psi = 1\right)\\ &= \frac{1}{\sqrt{a}} \psi \\ &= \frac{1}{\sqrt{a}} \sinh^{-1}\left[\frac{2a}{\sqrt{-(b^2 - 4ac)}}\left(x + \frac{b}{2a}\right)\right] \\ &= \frac{1}{\sqrt{a}} \sinh^{-1}\left(\frac{2ax + b}{\sqrt{\left|b^2 - 4ac\right|}}\right) \end{align*}}$

${ b^2 - 4ac = 0 }$ のとき

この場合は ${ x \ne -\frac{b}{2a} }$ で積分が定義されます。　積分自体は難しくありませんが、 ${ x > -\frac{b}{2a} }$ と ${ x < - \frac{b}{2a} }$ で符号だけ異なるので、複号を用いて前者を上、後者を下にして、まとめて計算しましょう：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} I &= \int\frac{dx}{\sqrt{a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2}} \\ &= \pm \frac{1}{\sqrt{a}} \int\frac{dx}{x + \frac{b}{2a}} \qquad \left(\because \sqrt{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2} = \left|x+\frac{b}{2a}\right|\right) \\ &= \pm \frac{1}{\sqrt{a}} \log\left|x + \frac{b}{2a}\right| \\ &= \pm \frac{1}{\sqrt{a}} \log\left|2ax + b\right| \qquad\left(\textrm{定数を無視した}\right) \end{align*}}$

${ b^2 - 4ac > 0 }$ のとき

積分が実数となる ${ x }$ の範囲は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x < \frac{-b-\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\,\frac{-b+\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} < x \end{align*}}$

この場合も2つの範囲で積分が符号だけ異なるので、複号で上を ${ x > \frac{-b+\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} }$ 、下を ${ x < \frac{-b-\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} }$ の場合として、まとめて計算します。

では積分の実行。　今の場合は平方根の中が ${ \cosh^2\psi - 1 }$ に比例するように、積分変数を ${ x }$ から以下で定義される ${ \psi }$ へ変数変換します：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sqrt{a}\left(x + \frac{b}{2a}\right) = \pm\sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a}} \cosh\psi \qquad \left(\sqrt{a}dx = \pm\sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a}}\,\sinh\psi d\psi\right) \end{align*}}$

常に ${ \cosh \psi > 0 }$ なので、 ${ x < \frac{-b-\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} }$ のときは負符号をつけて定義する必要があることに注意。　また、 ${ x > \frac{-b+\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} }$ では ${ \psi > 0 }$ 、 ${ x < \frac{-b-\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} }$ では ${ \psi < 0 }$ とします。　このとき

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} I &= \pm \frac{1}{\sqrt{a}}\int \frac{1}{\sqrt{\cosh^2\psi - 1}} \sinh\psi d\psi \\ &= \pm \frac{1}{\sqrt{a}} \int \frac{\sinh \psi}{\left|\sinh \psi\right|}d\psi \qquad \left(\because \cosh^2\psi - \sinh^2\psi = 1\right)\\ &= \frac{1}{\sqrt{a}} \int d\psi \\ &= \frac{1}{\sqrt{a}} \psi \\ &= \pm\frac{1}{\sqrt{a}} \cosh^{-1}\left[\pm\frac{2a}{\sqrt{b^2 - 4ac}}\left(x + \frac{b}{2a}\right)\right] \\ &= \pm\frac{1}{\sqrt{a}} \cosh^{-1}\left|\frac{2ax + b}{\sqrt{b^2 - 4ac}}\right| \end{align*}}$

4行目から5行目への変形では逆双曲線関数 ${ \cosh^{-1} x }$ の正の分岐をとっています。　 ${ x < \frac{-b-\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} }$ では ${ I }$ の値は負である*1一方、 ${ \cosh^{-1} x }$ の値が正なので負符号をつけています。

${ a < 0 }$ のとき

不定積分が実数関数として存在するためには、平方根の中の2次式に正の値をとる定義域が存在しなければならないので ${ b^2 - 4ac > 0 }$ でなければなりません。　さらに、 ${ x }$ の範囲は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{-b+\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} < x < \frac{-b-\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{align*}}$

でなければなりません。　この条件が満たされているとして、積分を実行しましょう。　 ${ a' = -a (> 0) }$ とおくと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} I &= \int\frac{dx}{\sqrt{-a'\left(x - \frac{b}{2a'}\right)^2 + \frac{b^2 + 4a'c}{4a'}}} \\ &= \int\frac{dx}{\sqrt{\frac{b^2 + 4a'c}{4a'} - a'\left(x - \frac{b}{2a'}\right)^2}} \end{align*}}$

ここで、平方根の中が ${ 1-\sin^2\theta }$ に比例するように積分変数 ${ \theta }$ を以下のように導入しましょう：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sqrt{a'} \left(x - \frac{b}{2a'}\right) = \sqrt{\frac{b^2 + 4a'c}{4a'}} \sin\theta　\qquad \left(\sqrt{a'} dx = \sqrt{\frac{b^2 + 4a'c}{4a'}} \cos\theta d\theta\right) \end{align*}}$

このとき

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} I &= \frac{1}{\sqrt{a'}} \int d\theta \\ &= \frac{1}{\sqrt{a'}} \theta \\ &= \frac{1}{\sqrt{a'}} \sin^{-1}\left[\frac{2a'}{\sqrt{b^2 + 4a'c}}\left(x - \frac{b}{2a'}\right)\right] \\ &= \frac{1}{\sqrt{a'}} \sin^{-1}\left(\frac{2a'x - b}{\sqrt{b^2 + 4a'c}}\right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{-a}} \sin^{-1}\left(\frac{-2ax - b}{\sqrt{b^2 - 4ac}}\right) \qquad \left(\because a' = -a\right)\\ &= -\frac{1}{\sqrt{|a|}} \sin^{-1}\left(\frac{2ax + b}{\sqrt{b^2 - 4ac}}\right) \end{align*}}$

積分定数は省略しています。

${ a = 0 }$ のとき

${ a = 0 }$ のときは簡単に積分できます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} I &= \frac{2}{b}\sqrt{bx + c} \end{align*}}$

平方根の中は正でなければならないので、定義域は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \begin{cases} x > - \dfrac{c}{b} & (b > 0) \\ x < - \dfrac{c}{b} & (b < 0) \end{cases} \end{align*}}$

となります。　 ${ b }$ も0の場合は被積分関数が定数なので書く必要がないでしょう。

まとめ

以上をまとめると、積分定数を省略して

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} I = \begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{a}} \sinh^{-1}\left(\dfrac{2ax + b}{\sqrt{\left|b^2 - 4ac\right|}}\right) & \left(a > 0,\,b^2-4ac < 0\right) \\[2mm] \pm \dfrac{1}{\sqrt{a}} \log\left|2ax + b\right| & \left(a > 0,\, b^2 - 4ac = 0\right) \\[2mm] \pm \dfrac{1}{\sqrt{a}} \cosh^{-1}\left|\dfrac{2ax + b}{\sqrt{b^2 - 4ac}}\right| & \left(a > 0,\,b^2-4ac > 0\right) \\[2mm] -\dfrac{1}{\sqrt{|a|}} \sin^{-1}\left(\dfrac{2ax + b}{\sqrt{b^2 - 4ac}}\right) & \left(a < 0\right) \\[2mm] \frac{2}{b}\sqrt{bx + c} & \left(a = 0\right) \end{cases} \end{align*}}$

ここには書いてませんが、1つ目のケース以外には ${ x }$ に範囲があります（上記参照）。　ちょっと岩波数学公式集と異なるところがあるので、そのうち修正するかも・・・

逆双曲線関数を対数関数で表す

『逆双曲線関数を対数関数で表す』の結果を使って、上記の ${ a > 0 }$ の場合の逆双曲線関数を対数関数で表して見ましょう。

${ b^2 - 4ac < 0 }$ の場合

${ \sinh x }$ を対数関数で表した公式

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sinh^{-1} x = \log\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) \end{align*}}$

より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} I &= \frac{1}{\sqrt{a}} \sinh^{-1}\left(\frac{2ax + b}{\sqrt{\left|b^2 - 4ac\right|}}\right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{a}} \log\left(\frac{2ax + b}{\sqrt{\left|b^2 - 4ac\right|}} + \sqrt{\left(\frac{2ax + b}{\sqrt{\left|b^2 - 4ac\right|}}\right)^2 + 1}\right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{a}} \log\left(\frac{2ax + b}{\sqrt{\left|b^2 - 4ac\right|}} + \sqrt{\frac{(2ax + b)^2 + \sqrt{\left|b^2 - 4ac\right|}^2}{\sqrt{\left|b^2 - 4ac\right|}^2}}\right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{a}} \log\left(\frac{2ax + b}{\sqrt{\left|b^2 - 4ac\right|}} + \frac{\sqrt{4a^2x^2 + 4abx + 4ac}}{\sqrt{\left|b^2 - 4ac\right|}}\right) \qquad \left(\because \sqrt{\left|b^2 - 4ac\right|}^2 = - (b^2 - 4ac)\right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{a}} \log\left(2ax + b + 2\sqrt{a\left(ax^2 + bx + c\right)}\right) \qquad \left(\textrm{定数を無視した}\right) \end{align*}}$

${ b^2 - 4ac < 0 }$ なので ${ \sqrt{\left|b^2 - 4ac\right|}^2 = - (b^2 - 4ac) }$ となることに注意。

${ b^2 - 4ac > 0 }$ の場合

${ b^2 - 4ac > 0 }$ の場合も ${ b^2 - 4ac < 0 }$ の場合と同じように計算できます。　 ${ \cosh x }$ を対数関数で表した公式（のうち、正の分岐をとったもの）

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cosh^{-1} x = \log\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \end{align*}}$

より（複号は上記と同じ意味）

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} I &= \pm \frac{1}{\sqrt{a}} \cosh^{-1}\left|\frac{2ax + b}{\sqrt{b^2 - 4ac}}\right| \\ &= \pm \frac{1}{\sqrt{a}} \cosh^{-1}\left(\pm\frac{2ax + b}{\sqrt{b^2 - 4ac}}\right) \\ &= \pm \frac{1}{\sqrt{a}} \log\left(\pm\frac{2ax + b}{\sqrt{b^2 - 4ac}} + \sqrt{\left(\pm\frac{2ax + b}{\sqrt{b^2 - 4ac}}\right)^2 - 1}\right) \\ &= \pm \frac{1}{\sqrt{a}} \log\left(\pm\left(2ax + b\right) + 2\sqrt{a\left(ax^2 + bx + c\right)}\right) \qquad \left(\textrm{定数を無視した}\right) \\ &= \pm \frac{1}{\sqrt{a}} \log\left|\left(2ax + b\right) \pm 2\sqrt{a\left(ax^2 + bx + c\right)}\right| \end{align*}}$

となります。

${ b^2 - 4ac = 0 }$ の場合

任意の ${ x }$ について

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x + \sqrt{x^2+1} &> 0 \\ -\log\left|x - \sqrt{x^2-1}\right| &= \log\left|x + \sqrt{x^2-1}\right| \end{align*}}$

が成り立つので、上記の2つの場合はまとめて

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} I = \frac{1}{\sqrt{a}} \log\left|\left(2ax + b\right) + 2\sqrt{a\left(ax^2 + bx + c\right)}\right| \end{align*}}$

と書けます。

${ b^2 - 4ac = 0 }$ の場合は既に対数関数で書けていますが、この場合も同じであることが期待されます。　よって実際にそうなるかを確かめてみましょう。　上記で定義される ${ I }$ について

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} I &= \frac{1}{\sqrt{a}} \log\left|2ax + b + 2\sqrt{a\left(ax^2 + bx + c\right)}\right| \\ &= \frac{1}{\sqrt{a}} \log\left|2ax + b + 2\sqrt{a\left(ax^2 + bx + \frac{b^2}{4a}\right)}\right| \qquad \left(\because c = \frac{b^2}{4a}\right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{a}} \log\left|2ax + b + 2\sqrt{\left(ax + \frac{b}{2}\right)^2}\right| \\ &= \frac{1}{\sqrt{a}} \log\left|2ax + b + 2\left|ax + \frac{b}{2}\right|\right| \end{align*}}$

これは ${ x > -\frac{b}{2a} }$ のときはたしかに ${ b^2 - 4ac = 0 }$ の場合の結果と等しいですが、 ${ x < -\frac{b}{2a} }$ の場合は一致しません。　ただし、この場合は同様の計算で

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} -\frac{1}{\sqrt{a}} \log\left|2ax + b - 2\sqrt{a\left(ax^2 + bx + c\right)}\right| \end{align*}}$

に等しいことが分かります。　これは ${ b^2 - 4ac > 0 }$ の ${ x < \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} }$ の場合と同じ形でもあります。

まとめ

結果をまとめると以下のようになります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} I = \begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{a}} \log\left|2ax + b + 2\sqrt{a\left(ax^2 + bx + c\right)}\right| & \left(a > 0,\quad x > \dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \\[2mm] -\dfrac{1}{\sqrt{a}} \log\left|2ax + b - 2\sqrt{a\left(ax^2 + bx + c\right)}\right| & \left(a > 0,\quad x < \dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \\[2mm] -\dfrac{1}{\sqrt{|a|}} \sin^{-1}\left(\dfrac{2ax + b}{\sqrt{\left|b^2-4ac\right|}}\right) & \left(a < 0\right) \\[2mm] \dfrac{2}{b}\sqrt{bx + c} & \left(a = 0\right) \end{cases} \end{align*}}$