逆双曲線関数を対数関数で表す

双曲線関数は基本的に単なる指数関数なので（『もしも高校で双曲線関数をやったなら (1) ：双曲線関数の定義と相互関係』参照）、逆双曲線関数は対数関数で表すことができます。

${ \sinh^{-1} x }$ を対数関数で表す

${ y = \sinh^{-1}x }$ とおくと ${ x = \sinh y }$ 、これを指数関数で書き換えると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x &= \frac{e^y - e^{-y}}{2} \\ e^{2y} &- 2x e^y - 1 = 0 \\ e^y &= x + \sqrt{x^2 + 1} \qquad\left(\because e^y > 0\right)\\ \therefore \, y &= \log\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) \end{align*}}$

つまり

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sinh^{-1} x = \log\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) \end{align*}}$

となります。

${ \cosh^{-1} x }$ を対数関数で表す

${ y = \cosh x }$ は値域が ${ y \geqq 1 }$ なので、その逆関数 ${ \cosh^{-1}x }$ の定義域は ${ x \geqq 1 }$ となります。　また ${ \cosh x = a \quad(a > 1) }$ となる ${ x }$ の値が正負2つあるので、逆関数 ${ \cosh^{-1} x }$ はそのままでは2価関数となります。　したがって ${ y = \cosh^{-1}x }$ を一価関数にするには ${ y \geqq 0 }$ もしくは ${ y \leqq 0 }$ の制限が必要です。

という前置きの下、 ${ \cosh^{-1} x }$ を対数関数で表しましょう。　やり方は ${ \sinh^{-1} x }$ の場合と基本的に同じです。　 ${ y = \cosh^{-1}x }$ とおくと ${ x = \cosh y }$ より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x &= \frac{e^y + e^{-y}}{2} \\ e^{2y} &- 2x e^y + 1 = 0 \\ e^y &= x \pm \sqrt{x^2 - 1} \\ \therefore \, y &= \log\left(x \pm \sqrt{x^2 - 1}\right) \end{align*}}$

よって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cosh^{-1} x = \log\left(x \pm \sqrt{x^2 - 1}\right) \end{align*}}$

となります。　ちなみに、複号については

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x + \sqrt{x^2 - 1} \geqq 1 ,\qquad x - \sqrt{x^2 - 1} \leqq 1 \end{align*}}$

なので、それぞれ ${ y \geqq 0,\,y \leqq 0 }$ の分岐に対応していることが分かります。

また

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x - \sqrt{x^2 - 1} &= \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \end{align*}}$

なので

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \log\left(x - \sqrt{x^2 -1 }\right) &= \log\left(\frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}}\right) \\ &= -\log\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \end{align*}}$

よって、上記の結果は以下のようにまとめて書くこともできます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cosh^{-1} x = \pm \log\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \end{align*}}$

${ \tanh^{-1} x }$ を対数関数で表す

${ -1 < \tanh x < 1 }$ より ${ \tanh^{-1} x }$ の定義域は ${ -1 < x < 1 }$ です。

${ y = \tanh^{-1}x }$ とおくと ${ x = \tanh y }$ 、これを指数関数で書き換えて

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x &= \frac{e^y - e^{-y}}{e^y + e^{-y}} \\ (1-x)e^{2y} &= 1 + x \\ e^y &=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\\ \therefore \, y &= \frac{1}{2}\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \end{align*}}$

よって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \tanh^{-1} x = \frac{1}{2}\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \end{align*}}$

となります。

${ \coth^{-1} x }$ を対数関数で表す

${ \coth x = \frac{1}{\tanh x} }$ です。　 ${ \coth^{-1}x }$ はこれの逆関数。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \coth x < -1,\quad 1 < \coth x \end{align*}}$

より ${ \coth^{-1} x }$ の定義域は ${ x < -1,\quad 1 < x }$ です。

${ y = \coth^{-1}x }$ とおくと ${ x = \coth y }$ 、これを指数関数で書き換えて

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x &= \frac{e^y + e^{-y}}{e^y - e^{-y}} \\ (x-1)e^{2y} &= x+1 \\ e^y &=\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\\ \therefore \, y &= \frac{1}{2}\log\left(\frac{x+1}{x-1}\right) \end{align*}}$

よって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \coth^{-1} x = \frac{1}{2}\log\left(\frac{x+1}{x-1}\right) \end{align*}}$

となります。

${ \textrm{sech}^{-1} x }$ を対数関数で表す

${ \textrm{sech}\;x = \frac{1}{\cosh x} }$ です。　 ${ \textrm{sech}^{-1}x }$ はこれの逆関数。　やはり ${ \cosh^{-1} x }$ と同様に2価関数になります。　 ${ \cosh x \geqq 1 }$ より ${ \textrm{sech}\;x }$ の定義域は ${ 0 < x \leqq 1 }$ です。

${ y = \textrm{sech}^{-1}x }$ とおくと ${ x = \textrm{sech}\;y }$ 、これを指数関数で書き換えると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x &= \frac{2}{e^y + e^{-y}} \\ xe^{2y} &- 2 e^y + x = 0 \\ e^y &= \frac{1 \pm \sqrt{1 - x^2}}{x} \\ \therefore \, y &= \log\left(\frac{1 \pm \sqrt{1 - x^2}}{x}\right) \end{align*}}$

よって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textrm{sech}^{-1} x = \log\left(\frac{1 \pm \sqrt{1 - x^2}}{x}\right) \end{align*}}$

となります。　また

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{1 - \sqrt{1 - x^2}}{x} = \frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}} \end{align*}}$

より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \log\left(\frac{1 - \sqrt{1 - x^2}}{x}\right) &= \log\left(\frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}}\right) \\ &= -\log\left(\frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x}\right) \end{align*}}$

となるので、上記の結果は以下のようにも書けます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textrm{sech}^{-1} x = \pm\log\left(\frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x}\right) \end{align*}}$

${ \textrm{cosech}^{-1} x }$ を対数関数で表す

${ \textrm{cosech}\;x = \frac{1}{\sinh x} }$ です。　 ${ \textrm{cosech}^{-1}x }$ はこれの逆関数。　 ${ \textrm{cosech}\;x }$ は0以外で定義されます。

${ y = \textrm{cosech}^{-1}x }$ とおくと ${ x = \textrm{cosech}\;y }$ 、これを指数関数で書き換えると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x &= \frac{2}{e^y - e^{-y}} \\ xe^{2y} &- 2 e^y - x = 0 \\ e^y &= \frac{1 + \sqrt{1 + x^2}}{x} \qquad\left(\because e^y > 0\right)\\ \therefore \, y &= \log\left(\frac{1 + \sqrt{1 + x^2}}{x}\right) \end{align*}}$

よって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textrm{cosech}^{-1} x = \log\left(\frac{1 + \sqrt{1 + x^2}}{x}\right) \end{align*}}$

となります。

まとめ

以上の公式をまとめると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sinh^{-1} x &= \log\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) \\ \cosh^{-1} x &= \log\left(x \pm \sqrt{x^2 - 1}\right) = \pm \log\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \qquad \left(x \geqq 1 \right) \\ \tanh^{-1} x &= \frac{1}{2}\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \qquad \left(-1 < x < 1 \right) \\ \coth^{-1} x &= \frac{1}{2}\log\left(\frac{x+1}{x-1}\right) \qquad \left(x < -1,\, 1 < x \right) \\ \textrm{sech}^{-1} x &= \log\left(\frac{1 \pm \sqrt{1 - x^2}}{x}\right) = \pm\log\left(\frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x}\right) \qquad \left(0 < x \leqq 1 \right) \\ \textrm{cosech}^{-1} &x = \log\left(\frac{1 + \sqrt{1 + x^2}}{x}\right) \qquad \left(x \ne 0 \right) \\ \end{align*}}$