不定積分と偶関数・奇関数

高校数学では、定積分については偶関数・奇関数に対する便利な公式がありますね。　 ${ f_\textrm{even}(x),\,f_\textrm{odd}(x) }$ をそれぞれ偶関数、奇関数とする、つまり以下が成り立つとします：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} f_\textrm{even}(-x) &= f_\textrm{even}(x) \\ f_\textrm{odd}(-x) &= -f_\textrm{odd}(x) \end{align*}}$

このとき、 ${ x = 0 }$ を中点とする区間での定積分に対して次の公式が成り立ちます（ ${ a }$ は正の定数）：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \int_{-a}^a f_\textrm{even}(x) dx &= 2\int_0^a f_\textrm{even}(x) dx \\ \int_{-a}^a f_\textrm{odd}(x) dx &= 0 \end{align*}}$

不定積分

さて、では不定積分について、偶関数・奇関数に関連して何か言えることはないか考えてみましょう。　 ${ F(x),\,G(x) }$ をそれぞれ ${ f_\textrm{even}(x),\,f_\textrm{odd}(x) }$ の原始関数*1とします。　ただし、積分定数は0とします：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} F(x) = \int f_\textrm{even}(x)dx \\ G(x) = \int f_\textrm{odd}(x)dx \end{align*}}$

このとき、 ${ F(x) }$ について

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} F(-x) &= F(t) \qquad (t = -x) \\ &= \int f_\textrm{even}(t)dt \\ &= -\int f_\textrm{even}(-x)dx \\ &= -\int f_\textrm{even}(x)dx \qquad (\because f_\textrm{even}(-x) = f_\textrm{even}(x)) \\ &= -F(x) \end{align*}}$

となり、 ${ F(x) }$ は奇関数になることが分かります。　同様にして、 ${ G(x) }$ について

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} G(-x) &= G(t) \qquad (t = -x) \\ &= \int f_\textrm{odd}(t)dt \\ &= -\int f_\textrm{odd}(-x)dx \\ &= \int f_\textrm{odd}(x)dx \qquad (\because f_\textrm{odd}(-x) = -f_\textrm{odd}(x)) \\ &= G(x) \end{align*}}$

となり、 ${ G(x) }$ は偶関数になることが分かります（ ${ G(x) }$ については積分定数が0である必要はないですね）。　つまり、積分定数を0としたとき、偶関数、奇関数の原始関数（不定積分）はそれぞれ奇関数、偶関数になることが分かります。

微分

ちなみ、微分についても同じような関係が成り立ちます。　 ${ f_\textrm{even}(x),\,f_\textrm{odd}(x) }$ の導関数をそれぞれ ${ \mathfrak{f}(x),\,\mathfrak{g}(x) }$ としましょう。　 ${ f_\textrm{even}(x) }$ は偶関数なので ${ f_\textrm{even}(-x) = f_\textrm{even}(x) }$ が成り立ちます。　両辺を ${ x }$ で微分して

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} -\mathfrak{f}(-x) &= \mathfrak{f}(x) \\ \therefore\; \mathfrak{f}(-x) &= -\mathfrak{f}(x) \end{align*}}$