2次元のケプラー問題の軌跡

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \theta - \theta_0 = - \frac{\ell}{\sqrt{2m}}\int \frac{du}{\sqrt{E - V\left(\frac{1}{u}\right) - \frac{\ell^2}{2m}u^2}} \end{align*}}$

ただし ${ u = \frac{1}{r} }$ です。　ケプラー問題のポテンシャル ${ V(r) = -\frac{k}{r} }$ を代入して積分を計算すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \theta - \theta_0 &= - \frac{\ell}{\sqrt{2m}}\int \frac{du}{\sqrt{E + ku - \frac{\ell^2}{2m}u^2}} \\ &= - \int \frac{du}{\sqrt{\frac{2mE}{\ell^2} + \frac{2km}{\ell^2}u - u^2}} \\ &= - \int \frac{du}{\sqrt{\frac{2mE\ell^2 + k^2m^2}{\ell^4} - \left(u - \frac{km}{\ell^2}\right)^2}} \end{align*}}$

ここで平方根の中が ${ 1 - \sin^2\varphi }$ に比例するように新しい変数 ${ \varphi }$ を以下のように導入しましょう：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} u - \frac{km}{\ell^2} &= \frac{\sqrt{2mE\ell^2 + k^2m^2}}{\ell^2} \; \sin\varphi & \left(du = \frac{\sqrt{2mE\ell^2 + k^2m^2}}{\ell^2} \; \cos\varphi d\varphi\right) \end{align*}}$

このとき被積分関数が簡単になって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \theta - \theta_0 &= - \int d\varphi \\ &= - \varphi \\ &= - \sin^{-1}\left[\frac{\ell^2}{\sqrt{2mE\ell^2 + k^2m^2}}\left(u - \frac{km}{\ell^2}\right)\right] \end{align*}}$

これを ${ r }$ について解くと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} u &= \frac{km}{\ell^2} - \frac{\sqrt{2mE\ell^2 + k^2m^2}}{\ell^2} \sin(\theta - \theta_0) \\ \therefore \, r &= \frac{\ell^2}{km - \sqrt{2mE\ell^2 + k^2m^2}\; \sin(\theta - \theta_0)} \end{align*}}$

境界条件

境界条件として ${ \theta = 0 }$ で ${ r }$ が最小になることを課すと、 ${ \sin(\theta - \theta_0) = - \cos\theta }$ となるように ${ \theta_0 }$ が定まり

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} r &= \frac{\ell^2}{km + \sqrt{2mE\ell^2 + k^2m^2}\; \cos\theta} \end{align*}}$

を得ます。

軌跡の図形

上記の軌跡の方程式を、2次曲線の極座標表示の一般的な形

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} r = \frac{\rho}{1+e\cos(\theta-\theta_0)} \end{align*}}$

と比べると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \theta_0 &= 0 \\ e &= \frac{\sqrt{2mE\ell^2 + k^2m^2}}{km} = \sqrt{1 + \frac{2E\ell^2}{k^2m}} \\ \rho &= \frac{\ell^2}{km} \end{align*}}$

と対応させれば、ケプラー問題の軌道が2次曲線になっていることが分かります。

2次曲線

上記の2次曲線の方程式（で ${ \theta_0 = 0 }$ とおいたもの）

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} r = \frac{\rho}{1+e\cos\theta} \end{align*}}$

がどんな図形（2次曲線）を表しているかを簡単に見ておきましょう。　 ${ \rho }$ はスケールを定める定数なので置いておきましょう（ケプラー問題での軌跡に対してはもう少し意味がありますが、これは後ほど）。

上記の方程式は、原点が焦点の1つで離心率 (eccentricity) が ${ e }$ の2次曲線になります。　離心率とは、2次曲線上の任意の1点をとったとき、その点とある直線（準線）との距離に対する、その点と焦点（今の場合原点）との距離の比です。　ちょっと分かりにくいのでもう少し具体的に見てみましょう。　2次曲線上の点 ${ P(r,\,\theta) }$ （極座標で）をとり、また ${ p }$ を（後で決める）正の定数として ${ x = p }$ を準線とします。　このとき、準線と点 ${ P }$ との距離は ${ p - r\cos\theta }$ となるので、離心率の定義の逆数は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{p - r\cos\theta}{r} &= \frac{p}{r} - \cos\theta \\ &= \frac{p(1+e\cos\theta)}{\rho} - \cos\theta \\ &= \frac{p + (pe-\rho)\cos\theta}{\rho} \end{align*}}$

となって、 ${ p = \frac{\rho}{e} }$ のときこの比は一定値 ${ \frac{1}{e} }$ となります。　よって離心率が ${ e }$ であることがわかりました。　また、準線は ${ x = \frac{\rho}{e} }$ となります。

2次曲線には楕円、放物線、双曲線の3種類がありますが、これらは離心率の値で分けられます：

${ 0 \leqq e < 1 }$ のとき楕円（ ${ e = 0 }$ のとき円）
${ e = 1 }$ のとき放物線
${ e > 1 }$ のとき双曲線

ケプラー問題の軌跡

ケプラー問題の軌跡では、2次曲線の方程式のパラメータ ${ \rho, e }$ は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \rho &= \frac{\ell^2}{km} \\ e &= \sqrt{1 + \frac{2E\ell^2}{k^2m}} \end{align*}}$

で与えられました。　 ${ e }$ の式を2乗して ${ \rho }$ の式を使うと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} e^2 = 1 + \frac{2E}{k}\rho \qquad \cdots(*) \end{align*}}$

となります。　ここで、回帰点、つまり動径方向の速さが0になる点の動径距離（アプス距離）を定める方程式を考えましょう。　これは有効ポテンシャル ${ V(r) + \frac{\ell^2}{2mr^2} }$ が質点のエネルギー ${ E }$ に等しいとおくことで得られます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &-\frac{k}{r} - \frac{\ell^2}{2mr^2} = E \\ \therefore \,&Er^2 + kr + \frac{\ell^2}{2m} = 0 \end{align*}}$

ただし、軌道が放物線 ( ${ e = 1 }$ ) の場合は ${ E = 0 }$ となるので除外します。　この2次方程式の2つの解の和は、解と係数の関係より ${ -\frac{k}{E} }$ となります。　よって、2つの解の平均を ${ a }$ とおくと ${ a = -\frac{k}{2E} }$ となり、(*) 式より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} e^2 = 1 - \frac{\rho}{a} \\ \therefore \, \rho = a(1-e^2) \end{align*}}$

を得ます。　これを軌跡の方程式に代入すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta} \end{align*}}$

となります。

楕円軌道では、この ${ a }$ は楕円の方程式で通常使われる文字と同じ、半長軸の長さとなります。　2つのアプス距離は ${ \theta = 0,\,\pi }$ のときに対応し、小さい順に ${ a(1-e),\,a(1+e) }$ となります（順に、近日点、遠日点に対応）。

双曲線軌道では、 ${ E > 0,\,e > 1 }$ より ${ a < 0,\,1-e^2 < 0 }$ となるので、 ${ a' = -a }$ とおいて

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} r = \frac{a'(e^2-1)}{e\cos\theta + 1} \end{align*}}$

と書き換えておきましょう。　このとき、 ${ a' }$ は双曲線の方程式の標準形で使われる ${ a }$ と同じく、双曲線の2つの連結部分の最短距離の半分になります。　この距離は ${ \theta = 0 }$ と ${ \theta = \pi }$ で与えられる2点の距離です（軌道の方程式で ${ r > 0 }$ となる部分と ${ r < 0 }$ となる部分がそれぞれ別の連結部分を作ります。　引力で ${ E > 0 }$ の場合の双曲線軌道は、このうち ${ r > 0 }$ の方に相当します*1。）。

偏角 ${ \theta }$ のとりうる範囲は、 ${ r > 0 }$ 、つまり ${ e\cos\theta + 1 > 0 }$ より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} -\alpha < \theta < \alpha \qquad \left(\alpha = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{e}\right) \right) \end{align*}}$

となります。　ただし、 ${ \cos^{-1}x }$ は値域が ${ 0 \leqq \cos^{-1}x \leqq \pi }$ となる分岐をとっています。

このくらいの説明だと、もともと2次曲線に精通していないと書いている意味がよく分からないかと思いますが、まぁあまり深入りしないことにしましょう。

まとめ

結局、軌道の方程式は以下で与えられます：

楕円 ( ${ 0 \leqq e < 1 }$ )

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta} \qquad \left(e = \sqrt{1+\frac{2E\ell^2}{k^2m}},\quad a = -\frac{k}{2E}\right) \end{align*}}$

放物線 ( ${ e = 1 }$ )

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} r = \frac{\rho}{1+\cos\theta} \qquad\left(\rho = \frac{\ell^2}{km}\right) \end{align*}}$

偏角 ${ \theta }$ のとりうる範囲は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} -\pi < \theta < \pi \end{align*}}$

双曲線 ( ${ e > 1 }$ )

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} r = \frac{a'(e^2-1)}{e\cos\theta+1} \qquad \left(e = \sqrt{1+\frac{2E\ell^2}{k^2m}},\quad a' = \frac{k}{2E}\right) \end{align*}}$