古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回はケプラー問題で の場合の質点の運動を求めます。 この場合の軌道は放物線になります。
放物線軌道の方程式
『2次元のケプラー問題の軌跡』より、放物線軌道の方程式は
で与えられます。
動径方向の運動
動径方向の運動は『2次元のケプラー問題』より
で与えられるのでした。 に注意して
をもう少し変形すると
ここで は軌道の方程式に現れる定数です。 さらに積分を実行すると
よって
のとき
(軌道の方程式での
の最小値)となるように初期条件を課すと
となるので
を得ます。 両辺を2乗すると についての3次方程式になるので
について解き直すことができますが(
では一意に定まる)、まぁそれでも一般的に解くのは大変なのでこれ以上はやりません(【追記】記事末で偏角方向の運動と軌道の方程式から
を
で表した形を求めました)。
偏角方向の運動
偏角方向の運動は、『2次元のケプラー問題』より
で与えられます。 この は簡単に積分できて
よって
を得ます。 で
となることを課すと
となるので、結局
となります。 これを逆に解くには動径方向の運動の場合と同様に3次方程式を解く必要があるのでスルー(【追記】気が変わって記事末でやってみました)。
まとめ
結果をまとめると
はパラメータとして独立ではないので文字を1つ消去できます。 まぁどれを消去してもいいんですが、
を消しておきましょう:
ちなみに定数 は、
が回帰点の動径距離(アプス距離)となる定数です。
動径と偏角を時間の関数として表す
動径偏角 
時刻
簡単のため、パラメータはまとめて とおいておきましょう(添字の0はエネルギー0の意):
このとき上記の関係は以下のようになります:
これを について解くためには、以下の
についての3次方程式を解けばいいことになります:
3次方程式の解き方は『高校数学で導く3次方程式の解の公式』に書きましたが、ここでは同じ手順を繰り返して解いてみます。 2次の項がない3次方程式は、以下の因数分解
を満たす を求めればいいのでした。 上記の3次方程式の左辺と係数を比較して、
は
を満たさなければなりません。 2つ目の式を3乗して
となりますが、これは が2次方程式
の2つの解であることを示しています。 2次方程式は解の公式で簡単に解けて
を得ます。 が求まれば、上記の因数分解を踏まえて
が(実数の範囲で)以下のように求まります:
だったので
を得ます。
動径 
だったので、まず分母の を
で表しておきましょう:
よって
を得ます。
まとめ
以上の結果をもう少し見やすくまとめると
ここで
です。 意外と綺麗な形にまとまりました。
【追記】
を
の関数として表す導出を追記しました。
- 前記事『2次元のケプラー問題』で偏角方向の式が因子2だけ間違っていたので、それに伴って結果を修正しました(一番最後の結果では
の定義が因子2だけ変わりました)。
- 軌道の方程式で
としていたものを
に変更しました。

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