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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.7

量子コンピューティング

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

目次はこちら。

Exercise 2.7. For each of the following states, describe all orthonormal bases that include that state.

  • a. { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + \textbf{i}|1\rangle\right) }
  • b. { \frac{1+\textbf{i}}{2}|0\rangle - \frac{1-\textbf{i}}{2}|1\rangle }
  • c. { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + e^{\textbf{i}\pi/6}|1\rangle\right) }
  • d. { \frac{1}{2}|+\rangle - \frac{\textbf{i}\sqrt{3}}{2}|-\rangle }

補足
{ \textbf{i} } は虚数単位です。　また { |+\rangle,\,|-\rangle,\,|\textbf{i}\rangle,\,|-\textbf{i}\rangle } は以下で定義されます：

　　{ \displaystyle\begin{align*} |+\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + |1\rangle\right) , & |-\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) \\ |\textbf{i}\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + \textbf{i}|1\rangle\right) , & |-\textbf{i}\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - \textbf{i}|1\rangle\right) \end{align*}}

{ \{|+\rangle,\,|-\rangle \},\,\{|\textbf{i}\rangle,\,|-\textbf{i}\rangle \} } はそれぞれ正規直交基底を成します。

方針
{ a,\,b } を { |a|^2+|b|^2 = 1 } を満たす複素数として、規格化された状態 { a|0\rangle + b|1\rangle } に直交する規格化された状態は { \bar{b}|0\rangle - \bar{a}|1\rangle } で与えられます（ { \bar{x} } は { x } の複素共役）。　実際、これら2つの状態の内積をとると

　　{ \displaystyle\begin{align*} \Big(a|0\rangle + b|1\rangle\Big)^\dagger\Big(\bar{b}|0\rangle - \bar{a}|1\rangle\Big) &= \Big(\bar{a}\langle0| + \bar{b}\langle1|\Big)\Big(\bar{b}|0\rangle - \bar{a}|1\rangle\Big) \\ &= \bar{a}\bar{b} - \bar{b}\bar{a} \\ &= 0 \end{align*}}

また、自身との内積は

　　{ \displaystyle\begin{align*} \Big(b\langle0| - a\langle1|\Big)\Big(\bar{b}|0\rangle - \bar{a}|1\rangle\Big) &= b\bar{b} + a\bar{a} \\ &= 1 \end{align*}}

となって、規格化されていることも分かります（直交する状態がこれしかないという証明はしてませんが、2状態系だと他にないでしょう）。

以下では、与えられた状態に直交する状態のみを求め（問題では指定した状態を含む基底を求めよとありますが）、それを { |\psi^\perp\rangle } とします。　また、大域位相のみを買えるときは「=」の代わりに「 { \sim }」を用いて式をつなげます。

a
　　{ \displaystyle\begin{align*} |\psi^\perp\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\textbf{i}|0\rangle - |1\rangle\right) \\ &\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - \textbf{i}|1\rangle\right) \\ &= |-\textbf{i}\rangle \end{align*}}

b
　　{ \displaystyle\begin{align*} |\psi^\perp\rangle &= -\frac{1+\textbf{i}}{2}|0\rangle - \frac{1-\textbf{i}}{2}|1\rangle \\ &\sim \frac{1+\textbf{i}}{2}|0\rangle + \frac{1-\textbf{i}}{2}|1\rangle \end{align*}}

c
　　{ \displaystyle\begin{align*} |\psi^\perp\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(e^{-\textbf{i}\pi/6}|0\rangle - |1\rangle\right) \\ &\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - e^{\textbf{i}\pi/6}|1\rangle\right) \end{align*}}

d
方針の箇所の議論は、標準基底 { \{|0\rangle,\,|1\rangle\} } だけでなく、任意の正規直交基底に対して成り立つので、基底 { \{ |+\rangle,\,|-\rangle \} } に適用して

　　{ \displaystyle\begin{align*} |\psi^\perp\rangle &= \frac{\textbf{i}\sqrt{3}}{2}|+\rangle - \frac{1}{2}|-\rangle \\ &\sim \frac{\sqrt{3}}{2}|+\rangle + \frac{\textbf{i}}{2}|-\rangle \end{align*}}