倭算数理研究所

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.12

量子コンピューティング

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

目次はこちら。

Exercise 2.12. Bloch Sphere: Spherical coordinates:

  • a. Show that the surface of the Bloch sphere can be parametrized in terms of tow real-valued parameters, the angles { \theta } and { \phi } illustrated in figure 2.7. Make sure your parametrization is in one-to-one correspondence with points on the sphere, and therefore single-qubit quantum states, in the range { \theta \in [0,\,\pi] } and { \phi \in [0,\,\pi] } except for the points corresponding to { |0\rangle } and { |1\rangle }.
  • b. What are { \theta } and { \phi }for each of the states { |+\rangle,\,|-\rangle,\,|\textbf{i}\rangle } and { |-\textbf{i}\rangle }?

補足
{ \textbf{i} } は虚数単位です。　また { |+\rangle,\,|-\rangle,\,|\textbf{i}\rangle,\,|-\textbf{i}\rangle } は以下で定義されます：

　　{ \displaystyle\begin{align*} |+\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + |1\rangle\right) , & |-\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) \\ |\textbf{i}\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + \textbf{i}|1\rangle\right) , & |-\textbf{i}\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - \textbf{i}|1\rangle\right) \end{align*}}

{ \{|+\rangle,\,|-\rangle \},\,\{|\textbf{i}\rangle,\,|-\textbf{i}\rangle \} } はそれぞれ正規直交基底を成します。

a.
ブロッホ球面の図を眺めていればどのようなパラメータ化をすればいいかはある程度直感的に分かりますが、ここでは少しブロッホ球面とは違うところから出発してパラメータ化を導出してみましょう。

2状態系の重ね合わせ状態 { |\psi\rangle } は、2つの複素係数 { a,\,b } を用いて

　　{ \displaystyle\begin{align*} |\psi\rangle = a|0\rangle + b|1\rangle \end{align*}}

と書けます。　ただし、任意の { a,\,b } に対して異なる状態が得られるわけではないので、これが一意となるような制限を考えましょう。　まず、 { |\psi\rangle } のノルムが1になることから

　　{ \displaystyle\begin{align*} \langle\psi|\psi\rangle &= |a|^2 + |b|^2 = 1 \cdots (*) \end{align*}}

また、大域位相を固定するために { a } を0以上の実数とします（ { a } が負の実数の場合は-1でくくれば大域位相となる）。　このとき { a = a_r + a_i\textbf{i}}, { b = b_r + b_i\textbf{i} } （ { a_r,\,a_i,\,b_r,\,b_i } は実数）とおくと、この制限は { a_r \geqq 0,\,a_i = 0 } となって、(*) 式は

　　{ \displaystyle\begin{align*} a_r^2 + b_r^2 + b_i^2 = 1 \qquad (a_r \geqq 0) \end{align*}}

と書き換えられます。　これは2次元の半球となるので（ブロッホ球面とは異なります）、 { a_r,\,b_r,\,b_i } をそれぞれ { z,\,x,\,y } 軸とする通常の球面のパラメータ化を行うと

　　{ \displaystyle\begin{align*} \begin{cases} a_r &= \cos\vartheta \\ b_r &= \sin\vartheta\cos\phi \\ b_i &= \sin\vartheta\sin\phi \end{cases} \qquad \left(\begin{array}{c} 0 \leqq \vartheta \leqq \tfrac{\pi}{2} \\ 0 \leqq \phi \leqq 2\pi \end{array}\right) \end{align*}}

となります。　ここで { \theta = \frac{\vartheta}{2} } によって変数 { \theta } を導入すると

　　{ \displaystyle\begin{align*} \begin{cases} a_r &= \cos\tfrac{\theta}{2} \\ b_r &= \sin\tfrac{\theta}{2}\cos\phi \\ b_i &= \sin\tfrac{\theta}{2}\sin\phi \end{cases} \qquad \left(\begin{array}{c} 0 \leqq \theta \leqq \pi \\ 0 \leqq \phi \leqq 2\pi \end{array}\right)\end{align*}}

となります。　このパラメータ化を使うと { |\psi\rangle = a|0\rangle + b|1\rangle } は（改めて { |\theta,\,\phi\rangle } と書いて）

　　{ \displaystyle\begin{align*} |\theta,\,\phi\rangle &= \cos\tfrac{\theta}{2} |0\rangle + \left(\sin\tfrac{\theta}{2}\cos\phi + \textbf{i}\sin\tfrac{\theta}{2}\sin\phi\right)|1\rangle \\ &= \cos\tfrac{\theta}{2} |0\rangle + e^{\textbf{i}\phi}\sin\tfrac{\theta}{2}|1\rangle \end{align*}}

を得ます。

補足

問題としては問われていませんが、 { |\theta,\,\varphi\rangle } に直交する状態 { |\theta,\,\phi\,^\perp\rangle } は

　　{ \displaystyle\begin{align*} |\theta,\,\phi\,^\perp\rangle &= |\pi - \theta,\,\phi + \pi \rangle \\ &= \sin\tfrac{\theta}{2} |0\rangle - e^{\textbf{i}\phi} \cos\tfrac{\theta}{2}|1\rangle \end{align*}}

となります。　また、 { |0\rangle, |1\rangle } を { |\theta,\,\varphi\rangle } で表すと

　　{ \displaystyle\begin{align*} |0\rangle &= |0,\,\phi\rangle, & |-\rangle &= |\pi,\,\phi\rangle \\ \end{align*}}

です。　 { \phi } は任意なのでこの場合はパラメータの値が一意に定まらず、そのため問題ではこの2つを一意に決まる場合から除外しているんですね。

b.
　　{ \displaystyle\begin{align*} |+\rangle &= |\tfrac{\pi}{2},\,0\rangle, & |-\rangle &= |\tfrac{\pi}{2},\,\pi\rangle \\ |\textbf{i}\rangle &= |\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{\pi}{2}\rangle, & |-\textbf{i}\rangle &= |\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{3\pi}{2}\rangle \end{align*}}