『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.14

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

作者: Eleanor G. Rieffel,Wolfgang H. Polak
出版社/メーカー: The MIT Press
発売日: 2011/03/04
メディア: Kindle版
この商品を含むブログを見る

Exercise 2.14.

a. Show that antipodal points on the surface of the Bloch sphere represent orthogonal states.

b. Show that any two orthorgonal states correspond to antipodal point.

a.

状態 ${ |0\rangle,\,|1\rangle }$ については明らか。　状態

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |\theta,\,\phi\rangle = \cos\tfrac{\theta}{2}|0\rangle + e^{\textbf{i}\phi}\sin\tfrac{\theta}{2} |1> \end{align*}}$

の対極にある状態は ${ |\pi-\theta,\,\phi+\pi\rangle }$ で与えられます。　この状態を標準基底で書き下すと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |\pi-\theta,\,\phi+\pi\rangle &= \cos\tfrac{\pi-\theta}{2}|0\rangle + e^{\textbf{i}(\phi+\pi)}\sin\tfrac{\pi-\theta}{2} |1\rangle \\ &= \sin\tfrac{\theta}{2} |0\rangle - e^{\textbf{i}\phi}\cos\tfrac{\theta}{2} |1\rangle \end{align*}}$

です。　よって ${ |\theta,\,\phi\rangle,\,|\pi-\theta,\,\phi+\pi\rangle }$ の内積を計算すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \langle\theta,\,\phi|\pi-\theta,\,\phi+\pi\rangle &= \cos\tfrac{\theta}{2}\sin\tfrac{\theta}{2} - \sin\tfrac{\theta}{2}\cos\tfrac{\theta}{2} \\ &= 0 \end{align*}}$

となり、ブロッホ球面で対極にある状態は直交していることが分かります。

b.

${ |0\rangle,\,|1\rangle }$ については明らかなので、これらの状態は以降では除外します。　2つの状態 ${ |\theta,\,\phi\rangle,\,|\theta',\,\phi'\rangle\quad(\theta'\ne\theta,\,\phi'\ne\phi) }$ について、これらが直交するように ${ \theta',\,\phi' }$ を定めましょう。　2つの内積を計算すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \langle\theta,\,\phi|\theta',\,\phi'\rangle &= \cos\tfrac{\theta}{2}\cos\tfrac{\theta'}{2} + e^{\textbf{i}(\phi'-\phi)}\sin\tfrac{\theta}{2}\sin\tfrac{\theta'}{2} \\ &= \cos\tfrac{\theta}{2}\cos\tfrac{\theta'}{2} + \cos(\phi'-\phi)\sin\tfrac{\theta}{2}\sin\tfrac{\theta'}{2} + \textbf{i}\sin(\phi'-\phi)\sin\tfrac{\theta}{2}\sin\tfrac{\theta'}{2} \end{align*}}$

虚部が0となるためには（状態 ${ |0\rangle,\,|1\rangle }$ を除外しているので ${ \theta,\,\theta' \ne 0,\,\pi }$ に注意して）

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \phi' - \phi &= \pi \qquad(\because \phi' \ne \phi) \\ \therefore\, \phi' &= \phi + \pi \end{align*}}$

よって、上記の内積は以下のようになります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \langle\theta,\,\phi|\theta',\,\phi'\rangle &= \cos\tfrac{\theta}{2}\cos\tfrac{\theta'}{2} - \sin\tfrac{\theta}{2}\sin\tfrac{\theta'}{2} \\ &= \cos\left(\frac{\theta+\theta'}{2}\right) \end{align*}}$