『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 3.5

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

作者: Eleanor G. Rieffel,Wolfgang H. Polak
出版社/メーカー: The MIT Press
発売日: 2011/03/04
メディア: Kindle版
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Exercise 3.5. Is the state ${ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle|+\rangle + |1\rangle|-\rangle\right) }$ entangled?

準備

2つの Qubit に関して、任意の状態のテンソル積は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \left(a_0|0\rangle + b_0|1\rangle\right) \otimes \left(a_1|0\rangle + b_1|1\rangle\right) &= a_0a_1|00\rangle + a_0b_1|01\rangle + a_1b_0|10\rangle + b_0b_1|11\rangle \end{align*}}$

となりますが、第1項と第4項の係数の積、第2項と第3項の係数の積はどちらも ${ a_0a_1b_0b_1 }$ となるので、これらは等しくなければなりません。　

与えられた状態について

与えられた状態を標準基底 ${ \{|0\rangle,\,|1\rangle\} }$ のみで書き表すと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle|+\rangle + |1\rangle|-\rangle\right) &= \frac{1}{2}\left\{|0\rangle\left(|0\rangle + |1\rangle\right) + |1\rangle\left(|0\rangle - |1\rangle\right)\right\} \\ &= \frac{1}{2}\left(|00\rangle + |01\rangle + |10\rangle - |11\rangle\right) \end{align*}}$