『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 3.7

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

作者: Eleanor G. Rieffel,Wolfgang H. Polak
出版社/メーカー: The MIT Press
発売日: 2011/03/04
メディア: Kindle版
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Exercise 3.7. Write the following states in terms of the Bell basis.

a. ${ |00\rangle }$

b. ${ |+\rangle|-\rangle }$

c. ${ \frac{1}{\sqrt{3}}\left(|00\rangle + |01\rangle + |10\rangle\right) }$

補足

ベル状態とは以下の4つの状態：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |\Phi^+\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|00\rangle + |11\rangle\right) \\ |\Phi^-\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|00\rangle - |11\rangle\right) \\ |\Psi^+\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|01\rangle + |10\rangle\right) \\ |\Psi^-\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|01\rangle - |10\rangle\right) \end{align*}}$

ベル基底とはこれら4つの状態からなる 2-Qubit 系の基底です。

a.

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |00\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\Psi^+\rangle + |\Psi^-\rangle\right) \end{align*}}$

b.

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |+\rangle|-\rangle &= \frac{1}{2}\left(|0\rangle + |1\rangle\right)\left(|0\rangle - |1\rangle\right) \\ &= \frac{1}{2}\left(|00\rangle - |01\rangle + |10\rangle - |11\rangle\right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\Phi^-\rangle - |\Psi^-\rangle\right) \end{align*}}$

c.

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{3}}\left(|00\rangle + |01\rangle + |10\rangle\right) &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\Phi^+\rangle + |\Phi^-\rangle\right) + \sqrt{2}|\Psi^+\rangle\right\} \\ &= \frac{1}{\sqrt{6}}\left(|\Phi^+\rangle + |\Phi^-\rangle + 2|\Psi^+\rangle\right) \end{align*}}$

倭算数理研究所

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 3.7

補足

a.

b.

c.