『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 3.13

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

作者: Eleanor G. Rieffel,Wolfgang H. Polak
出版社/メーカー: The MIT Press
発売日: 2011/03/04
メディア: Kindle版
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Exercise 3.14.

a. Show that the four-qubit state ${ |\psi\rangle = \frac{1}{2}\left(|00\rangle + |11\rangle + |22\rangle + |33\rangle\right) }$ of example 3.2.3 is entangled with respect to the decomposition into two two-qubit subsystems consisting of the first and second qubits and the third and fourth qubits.

b. For the four decompositions into two subsystems consisting of one and three qubits, say whether ${ |\psi\rangle }$ is entangled or unentangled with respect to each of these decompositions.

a.

1, 2 番目の2つの Qubit からなる系を ${ I }$ 、3, 4 番目の2つの Qubit からなる系を ${ I\!I }$ とします。　それぞれの系の一般的な状態 ${ |\psi\rangle_I,\,|\psi\rangle_{I\!I} }$ は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |\psi\rangle_I &= a_0|0\rangle_I + a_1|1\rangle_I + a_2|2\rangle_I + a_3|3\rangle_I \qquad \left(a_i \in \textbf{C}\right) \\ &= \sum_{i = 0}^3 a_i |i\rangle_I \\[2mm] |\psi\rangle_{I\!I} &= \sum_{i = 0}^3 b_i |i\rangle_{I\!I} \qquad \left(b_i \in \textbf{C}\right) \end{align*}}$

と書けます。　これらの状態のテンソル積は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |\psi\rangle_I\otimes|\psi\rangle_{I\!I} &= a_0b_0|0\rangle_I|0\rangle_{I\!I} + a_0b_1|0\rangle_I|1\rangle_{I\!I} + a_1b_0|1\rangle_I|0\rangle_{I\!I} + a_1b_1|1\rangle_I|1\rangle_{I\!I} + \cdots \\[2mm] &= a_0b_0|00\rangle + a_0b_1|01\rangle + a_1b_0|10\rangle + a_1b_1|11\rangle + \cdots \\ \end{align*}}$

となります。　これが問題で与えられた状態 ${ |\psi\rangle }$ と等しくなる条件を考えましょう。

${ |\psi\rangle_I\otimes|\psi\rangle_{I\!I} }$ の第2項の状態 ${ |01\rangle }$ は ${ |\psi\rangle }$ に存在しないので

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_0b_1 = 0 \end{align*}}$

でなければなりませんが、 ${ a_0 = 0 }$ のときは ${ |\psi\rangle_I\otimes|\psi\rangle_{I\!I} }$ の第1項が消え、 ${ b_1 = 0 }$ のときは ${ |\psi\rangle_I\otimes|\psi\rangle_{I\!I} }$ の第4項が消えます。　しかし、 ${ |\psi\rangle }$ にはこのどちらの状態も存在するため、結局 ${ |\psi\rangle }$ は系 ${ I,\,I\!I }$ のテンソル積としては書けません。

b.

1 番目 Qubit からなる系を ${ I }$ 、2, 3, 4 番目の3つの Qubit からなる系を ${ I\!I }$ とします。　それぞれの系の一般的な状態 ${ |\psi\rangle_I,\,|\psi\rangle_{I\!I} }$ は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |\psi\rangle_I &= a_0|0\rangle_I + a_1|1\rangle_I & & \left(i = 0,\,1,\,\quad a_i \in \textbf{C}\right) \\ &= \sum_{i = 0}^1 a_i |i\rangle_I \\[2mm] |\psi\rangle_{I\!I} &= \sum_{j = 0}^7 b_j |j\rangle_{I\!I} & & \left(j = 0,\,1,\,\cdots 7,\quad b_j\in \textbf{C}\right) \end{align*}}$

と書けます。　これらの状態のテンソル積は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |\psi\rangle_I\otimes|\psi\rangle_{I\!I} &= a_0b_0|0\rangle_I|0\rangle_{I\!I} + a_0b_1|0\rangle_I|1\rangle_{I\!I} + a_0b_2|0\rangle_I|2\rangle_{I\!I} + a_0b_3|0\rangle_I|3\rangle_{I\!I} \\ &\quad + a_0b_4|0\rangle_I|4\rangle_{I\!I} + a_0b_5|0\rangle_I|5\rangle_{I\!I} + a_1b_6|0\rangle_I|6\rangle_{I\!I} + a_0b_7|0\rangle_I|7\rangle_{I\!I} \\ &\quad + a_1b_0|1\rangle_I|0\rangle_{I\!I} + a_1b_1|1\rangle_I|1\rangle_{I\!I} + a_1b_2|1\rangle_I|2\rangle_{I\!I} + a_1b_3|1\rangle_I|3\rangle_{I\!I} \\ &\quad + a_1b_4|1\rangle_I|4\rangle_{I\!I} + a_1b_5|1\rangle_I|5\rangle_{I\!I} + a_1b_6|6\rangle_I|4\rangle_{I\!I} + a_1b_7|1\rangle_I|7\rangle_{I\!I} \\[2mm] &= \underline{a_0b_0|00\rangle} + a_0b_1|01\rangle + \underline{a_0b_2|02\rangle} + a_0b_3|03\rangle \\ &\quad + a_0b_4|10\rangle + a_0b_5|11\rangle + a_1b_6|12\rangle + a_0b_7|13\rangle \\ &\quad + a_1b_0|20\rangle + a_1b_1|21\rangle + \underline{a_1b_2|22\rangle} + a_1b_3|23\rangle \\ &\quad + a_1b_4|30\rangle + a_1b_5|31\rangle + a_1b_6|32\rangle + a_1b_7|33\rangle \\[2mm] &= a_0b_0|00\rangle + a_0b_2|02\rangle + a_1b_2|22\rangle + \cdots \end{align*}}$

3行目では2行目の下線部のみを取り出しています。　第2項の状態 ${ |02\rangle }$ は ${ |\psi\rangle }$ に含まれないので

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_0b_2 = 0 \end{align*}}$

となりますが、 ${ a_0 = 0 }$ のときは第1項が、 ${ b_2= 0 }$ のときは第3項が消えて、どちらの場合も ${ |\psi\rangle }$ に含まれている状態が消えてしまうので、結局 ${ |\psi\rangle_1 \otimes |\psi\rangle_{I\!I} }$ は ${ |\psi\rangle }$ に等しくなりません。

2番目の Qubit を系 ${ I }$ 、残りの3つの Qubit を系 ${ I\!I }$ として上記と同様の計算をすると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |\psi\rangle_I\otimes|\psi\rangle_{I\!I} &= \underline{a_0b_0|00\rangle} + \underline{a_0b_1|01\rangle} + a_0b_2|02\rangle + a_0b_3|03\rangle \\ &\quad + a_0b_4|20\rangle + a_0b_5|21\rangle + a_1b_6|22\rangle + a_0b_7|23\rangle \\ &\quad + a_1b_0|10\rangle + \underline{a_1b_1|11\rangle} + a_1b_2|12\rangle + a_1b_3|13\rangle \\ &\quad + a_1b_4|30\rangle + a_1b_5|31\rangle + a_1b_6|32\rangle + a_1b_7|33\rangle \\[2mm] &= a_0b_0|00\rangle + a_0b_1|01\rangle + a_1b_1|11\rangle + \cdots \end{align*}}$