『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 3.14

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

作者: Eleanor G. Rieffel,Wolfgang H. Polak
出版社/メーカー: The MIT Press
発売日: 2011/03/04
メディア: Kindle版
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Exercise 3.14.

a. For the standard basis, the Hadamard basis, and the basis ${ B = \left\{\tfrac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+\textbf{i}|1\rangle),\,\tfrac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-\textbf{i}|1\rangle)\right\} }$ , determine the probabilitiy of each outcome when the second qubit of a two-qubit system in the state ${ |00\rangle }$ is measured in each of the basis.

b. Determine the probability of each outcome when the second qubit of the state ${ |00\rangle }$ is first measured in the Hadamard basis and then in the basis ${ B }$ of part a).

c. Determine the probability of each outcome when the second qubit of the state ${ |00\rangle }$ is first measured in the Hadamard basis and then in the standard basis.

準備

標準基底、アダマール基底、基底 ${ B }$ の基底ベクトルを標準基底で表すと以下のようになります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\textrm{Standard}& &|0\rangle & &|1\rangle \\ &\textrm{Hadamard}& &|+\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle) & &|-\rangle \,\,\,\,= \tfrac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle) \\ &B& &|\textbf{i}_+\rangle \,\,\,= \tfrac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+\textbf{i}|1\rangle) & &|\textbf{i}_-\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-\textbf{i}|1\rangle) \\ \end{align*}}$

基底 ${ B }$ の基底ベクトルはこの本では ${ |\textbf{i}\rangle,\,|-\textbf{i}\rangle }$ と書かれてますが、2-qubit 系で少々見づらくなるので別の形に書いてます。

a.

標準基底

確率 1 で ${ |00\rangle }$

アダマール基底 状態 ${ |00\rangle }$ を2つの 2-qubit 状態 ${ |0\pm\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle\pm|01\rangle) }$ で分解すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |00\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}}|0+\rangle + \tfrac{1}{\sqrt{2}}|0-\rangle \end{align*}}$

となり、（それぞれの係数の絶対値を自乗して）各状態が得られる確率はどちらも ${ \tfrac{1}{2} }$ であることが分かります。　よって

確率 ${ \tfrac{1}{2} }$ で ${ |0+\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|01\rangle) }$
確率 ${ \tfrac{1}{2} }$ で ${ |0-\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle-|01\rangle) }$

これらの確率は、2番目の qubit に関しての遷移確率

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |\langle+|0\rangle|^2 = |\langle-|0\rangle|^2 = \tfrac{1}{2} \end{align*}}$

からも簡単に得られます。

基底 ${ B }$ アダマール基底の場合と同様にして

確率 ${ \tfrac{1}{2} }$ で ${ |0\textbf{i}_+\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+\textbf{i}|01\rangle) }$
確率 ${ \tfrac{1}{2} }$ で ${ |0\textbf{i}_-\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle-\textbf{i}|01\rangle) }$

b.

暗算でできますが、表にしてまとめておきましょう。　1度目、2度目の測定で得られる基底ごとに確率を表にすると以下のようになります：

1度目 \ 2度目	${ \mid 0\textbf{i}_+\rangle }$	${ \mid 0\textbf{i}_-\rangle }$
${ \mid 0+\rangle }$	${ \tfrac{1}{4} }$	${ \tfrac{1}{4} }$
${ \mid 0-\rangle }$	${ \tfrac{1}{4} }$	${ \tfrac{1}{4} }$
合計	${ \tfrac{1}{2} }$	${ \tfrac{1}{2} }$

よって2度目の測定後に得られる状態とその確率は

確率 ${ \tfrac{1}{2} }$ で ${ |0\textbf{i}_+\rangle }$
確率 ${ \tfrac{1}{2} }$ で ${ |0\textbf{i}_-\rangle }$

となります。

c.

小問 b) と同様に表を作って計算すると

1度目 \ 2度目	${ \mid 00\rangle }$	${ \mid 01\rangle }$
${ \mid 0+\rangle }$	${ \tfrac{1}{4} }$	${ \tfrac{1}{4} }$
${ \mid 0-\rangle }$	${ \tfrac{1}{4} }$	${ \tfrac{1}{4} }$
合計	${ \tfrac{1}{2} }$	${ \tfrac{1}{2} }$