量子ビットの測定についての計算メモ（1, 2 個の場合）

この記事では、1 qubit 系の一般的な正規直交基底 ${ \{|\theta\rangle,\,|\theta^\perp\rangle\} }$ 、ただし

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \begin{cases} |\theta\rangle = a|0\rangle + b|1\rangle \\[2mm] |\theta^\perp\rangle = \bar{b}|0\rangle - \bar{a}|1\rangle \end{cases} \qquad \left(|a|^2 + |b|^2 = 1\right) \end{align*}}$

を用いて n-qubit 系の中の1つの qubit を測定したときに、得られる状態とその確率を計算します。

この正規直交基底は、 ${ a = 1,\,b = 0 }$ のとき標準基底 ${ \{|0\rangle,\,|1\rangle\} }$ 、 ${ a = b = \frac{1}{\sqrt{2}} }$ のときアダマール基底に対応します。

ちなみに、状態のラベルの ${ \theta }$ はブロッホ球面の角度とは何の関係もありません。

1-qubit 系

まずは 1-qubit 系に対してやってみましょう。　測定前の系の状態が

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |\psi\rangle = c_0|0\rangle + c_1|1\rangle \qquad\left(|c_0|^2 + |c_1|^2 = 1\right) \end{align*}}$

であったとして、この状態を基底 ${ \{|\theta\rangle,\,|\theta^\perp\rangle\} }$ で測定したときに状態 ${ |\theta\rangle }$ が得られる確率は、この状態への射影演算子

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} P = |\theta\rangle\langle\theta| \end{align*}}$

を用いて、 ${ \left|P|\psi\rangle\right|^2 }$ で得られます。　 ${ P|\psi\rangle }$ を計算すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} P|\psi\rangle &= |\theta\rangle \langle\theta|\psi\rangle \\ &= \left(\bar{a}c_0 + \bar{b}c_1\right)|\theta\rangle \end{align*}}$

となるので、求める確率は ${ \left|\bar{a}c_0 + \bar{b}c_1\right|^2 }$ となります。

同様の計算を ${ |\theta^\perp\rangle }$ の場合に行うと、この状態への射影演算子を ${ P^\perp = |\theta^\perp\rangle\langle\theta^\perp| }$ として

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} P^\perp|\psi\rangle &= \left(bc_0 - ac_1\right)|\theta^\perp\rangle \end{align*}}$

となるので、求める確率は ${ |bc_0 - ac_1|^2 }$ となります。

結果をまとめると

${ \left|\bar{a}c_0 + \bar{b}c_1\right|^2 }$ の確率で ${ |\theta\rangle }$ を得る
${ \left|bc_0 - ac_1\right|^2 }$ の確率で ${ |\theta^\perp\rangle }$ を得る

標準基底での測定

${ a = 1,\,b = 0 }$ より

${ |c_0|^2 }$ の確率で ${ |0\rangle }$
${ |c_1|^2 }$ の確率で ${ |1\rangle }$

アダマール基底での測定

${ a = b = \frac{1}{\sqrt{2}} }$ より

${ \left|\frac{c_0+c_1}{\sqrt{2}}\right|^2 }$ の確率で ${ |+\rangle }$
${ \left|\frac{c_0-c_1}{\sqrt{2}}\right|^2 }$ の確率で ${ |-\rangle }$

2-qubit 系

次は 2-qubit 系。　規格化された状態

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |\psi\rangle = c_0|00\rangle + c_1|01\rangle + c_2|10\rangle + c_3|11\rangle \qquad \left(\sum_{i=0}^3 |c_i|^2 = 1\right) \end{align*}}$

の0番目の Qubit を基底 ${ \{|\theta\rangle_0,\,|\theta^\perp\rangle_0\} }$ で測定するとします。　0番目の qubit を状態 ${ |\theta\rangle }$ への射影する射影演算子 ${ P_0 }$ は（ ${ I_1 }$ を1番目の qubit に対する恒等演算子として）

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} P_0 = |\theta\rangle_0{}_0\langle\theta| \otimes I_1 \end{align*}}$

となります。　これを ${ |\psi\rangle }$ に作用させて

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} P_0|\psi\rangle &= \left(|\theta\rangle_0{}_0\langle\theta|\otimes I_1\right) \left(c_0|00\rangle + c_1|01\rangle + c_2|10\rangle + c_3|11\rangle\right) \\ &= \bar{a}c_0|\theta0\rangle + \bar{a}c_1|\theta1\rangle + \bar{b}c_2|\theta0\rangle + \bar{b}c_3|\theta1\rangle \qquad \left(\because {}_0\langle\theta|0\rangle_0 = \bar{a},\,{}_0\langle\theta|1\rangle_0 = \bar{b}\right) \\ &= \left(\bar{a}c_0 + \bar{b}c_2\right)|\theta0\rangle + \left(\bar{a}c_1 + \bar{b}c_3\right)|\theta1\rangle \end{align*}}$

よって、求める確率を ${ p_0 }$ とすると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} p_0 &= |P_0|\psi\rangle|^2 \\ &= \left|\bar{a}c_0 + \bar{b}c_2\right|^2 + \left|\bar{a}c_1 + \bar{b}c_3\right|^2 \end{align*}}$

となります。　測定後の系全体の状態は、 ${ P|\psi\rangle }$ を規格化したものなので、これを ${ |\psi_0\rangle }$ とおくと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |\psi_0\rangle &= \tfrac{1}{\sqrt{p_0}}P_0|\psi\rangle \\ &= \tfrac{1}{\sqrt{p_0}}\Big\{\left(\bar{a}c_0 + \bar{b}c_2\right)|\theta0\rangle + \left(\bar{a}c_1 + \bar{b}c_3\right)|\theta1\rangle\Big\} \end{align*}}$

標準基底で表せば

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |\psi_0\rangle &= \tfrac{1}{\sqrt{p_0}}\Big\{ a\left(\bar{a}c_0 + \bar{b}c_2\right)|00\rangle + a\left(\bar{a}c_1 + \bar{b}c_3\right)|01\rangle \\ &\qquad\qquad + b\left(\bar{a}c_0 + \bar{b}c_2\right)|10\rangle + b\left(\bar{a}c_1 + \bar{b}c_3\right)|11\rangle\Big\} \end{align*}}$

となります。

同様にして、0番目の qubit を測定して ${ |\theta^\perp\rangle }$ を得る確率 ${ p_0^\perp }$ と、測定後の系全体の状態 ${ |\psi_0^\perp\rangle }$ は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} p_0^\perp &= \left|bc_0 - ac_2\right|^2 + \left|bc_1 - ac_3\right|^2 \quad (= 1-p_0) \\[2mm] |\psi_0^\perp\rangle &= \tfrac{1}{\sqrt{1-p_0}}\Big\{\left(bc_0 - ac_2\right)|\theta^\perp 0\rangle + \left(bc_1 - ac_3\right)|\theta^\perp 1\rangle\Big\} \\ &= \tfrac{1}{\sqrt{1-p_0}}\Big\{ \bar{b}\left(bc_0 - ac_2\right)|00\rangle + \bar{b}\left(bc_1 - ac_3\right)|01\rangle \\ &\qquad\qquad -\bar{a}\left(bc_0 -ac_2\right)|10\rangle - \bar{a}\left(bc_1 - ac_3\right)|11\rangle\Big\} \end{align*}}$

となります（ ${ (a,\,b) \mapsto (\bar{b},\,-\bar{a}) }$ の置き換えをしても得られます）。

まとめると

${ p_0 = \left|\bar{a}c_0 + \bar{b}c_2\right|^2 + \left|\bar{a}c_1 + \bar{b}c_3\right|^2 }$ の確率で状態 ${ |\theta\rangle }$ を得、測定後の系全体の状態は

${ p_0^\perp = \left|bc_0 - ac_2\right|^2 + \left|bc_1 - ac_3\right|^2 (=1-p_0) }$ の確率で状態 ${ |\theta^\perp\rangle }$ を得、測定後の系全体の状態は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |\psi_0^\perp\rangle &= \tfrac{1}{\sqrt{1-p_0}}\Big\{ \bar{b}\left(bc_0 - ac_2\right)|00\rangle + \bar{b}\left(bc_1 - ac_3\right)|01\rangle \\ &\qquad\qquad -\bar{a}\left(bc_0 -ac_2\right)|10\rangle - \bar{a}\left(bc_1 - ac_3\right)|11\rangle\Big\} \end{align*}}$

となります。

標準基底での測定

${ a = 1,\,b = 0 }$ より

${ p_0 = \left|c_0\right|^2 + \left|c_1\right|^2 }$ の確率で ${ |0\rangle }$ を得、測定後の系全体の状態は ${ \tfrac{1}{\sqrt{p_0}}\left(c_0|00\rangle + c_1|01\rangle\right) }$ となる。
${ p_0^\perp = \left|c_2\right|^2 + \left|c_3\right|^2 (= 1-p_0) }$ の確率で ${ |1\rangle }$ を得、測定後の系全体の状態は ${ \tfrac{1}{\sqrt{1-p_0}}\left(c_2|10\rangle + c_3|11\rangle\right) }$ となる。

アダマール基底での測定

${ a = b = \frac{1}{\sqrt{2}} }$ より

${ p_0 = \left|\frac{c_0+c_2}{\sqrt{2}}\right|^2 + \left|\frac{c_1+c_3}{\sqrt{2}}\right|^2 }$ の確率で ${ |+\rangle }$ を得、測定後の系全体の状態は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |\psi_0\rangle &= \tfrac{1}{2\sqrt{p_0}}\Big\{(c_0 + c_2)|00\rangle + (c_1 + c_3)|01\rangle + (c_0 + c_2)|10\rangle + (c_1 + c_3)|11\rangle \Big\} \end{align*}}$

${ p_0^\perp = \left|\frac{c_0-c_2}{\sqrt{2}}\right|^2 + \left|\frac{c_1-c_3}{\sqrt{2}}\right|^2 (= 1-p_0) }$ の確率で状態 ${ |-\rangle }$ を得、測定後の系全体の状態は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |\psi_0^\perp\rangle &= \tfrac{1}{2\sqrt{1-p_0}}\Big\{(c_0 - c_2)|00\rangle + (c_1 - c_3)|01\rangle - (c_0 - c_2)|10\rangle - (c_1 - c_3)|11\rangle \Big\} \end{align*}}$