階乗冪の和の公式 - 倭算数理研究所

以下のような積の和を一般に与える公式を導きます。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} S_2(n) &= 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n(n+1) \\[2mm] S_3(n) &=1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \cdots + n(n+1)(n+2) \end{align*}}$

参考

『級数・フーリエ解析 (岩波数学公式 2)』

概要

後でもう少し一般化した場合を導出しますが、 ${ n = 2,\,3 }$ の場合に算数っぽく導出しておきます。　まずは ${ n = 2 }$ の場合。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} S_2(n) &= 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n(n+1) \\ &= \frac{1}{3}\Big[ \left(1 \cdot 2 \cdot 3 - 0 \cdot 1 \cdot 2\right) \\ &\qquad + \left(2 \cdot 3 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot 3\right) \\ &\qquad + \left(3 \cdot 4 \cdot 5 - 2 \cdot 3 \cdot 4\right) \\ &\qquad + \cdots \\ &\qquad + \big\{n(n+1)(n+2) - (n-1)n(n+1)\big\} \Big] \\ &= \frac{1}{3}n(n+1)(n+2) \end{align*}}$

角括弧内の第1項内の1つ目の項 ${ 1 \cdot 2 \cdot 3 }$ と第2項内の2つ目の項 ${ -1 \cdot 2 \cdot 3 }$ が打ち消しあい、第2項内の1つ目の項 ${ 2 \cdot 3 \cdot 4 }$ と第3項内の2つ目の項 ${ -2 \cdot 3 \cdot 4 }$ が打ち消しあい、というのが続いて、結果的に第1項内の2つ目の項（これは0）と第 ${ n }$ 項内の1つ目の項が残ります。

同様にして ${ n = 3 }$ の場合も計算できます。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} S_3(n) &= 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \cdots + n(n+1)(n+2) \\ &= \frac{1}{4}\Big[ \left(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 - 0 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3\right) \\ &\qquad + \left(2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 - 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4\right) \\ &\qquad + \left(3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5\right) \\ &\qquad + \cdots \\ &\qquad + \big\{n(n+1)(n+2)(n+3) - (n-1)n(n+1)(n+2)\big\} \Big] \\ &= \frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3) \end{align*}}$

これで問題の式は導出できましたが、もう少し一般化した公式を導いておきましょう。

導出

${ f_r(n) }$ を

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} f_r(n) = n(n+1)(n+2)\cdots (n+r-1) \end{align*}}$

で定義します。　これを用いて、問題の和を一般化した

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} S_r(n) &= \sum_{m=1}^n f_r(m) \end{align*}}$

を求めます。　求め方は前節で行った方法と基本的に同じです。

まず、 ${ f_r(n) }$ を以下のように変形します：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} f_r(n) &= n(n+1)(n+2)\cdots(n+r-1) \\ &= \frac{(n+r) - (n-1)}{r+1}\cdot n(n+1)(n+2)\cdots(n+r-1) \\ &= \frac{1}{r+1}\Big\{n(n+1)(n+2)\cdots(n+r-1)(n+r) \\ &\qquad - (n-1)n(n+1)(n+2)\cdots(n+r-1)\Big\} \\ &= \frac{1}{r+1}\left\{f_{r+1}(n) - f_{r+1}(n-1)\right\} \end{align*}}$

${ n = 1 }$ から ${ n = N }$ まで和をとると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sum_{n=1}^N f_r(n) &= \frac{1}{r+1}\Big[ \left(f_{r+1}(1) - f_{r+1}(0)\right) \\ &\qquad + \left(f_{r+1}(2) - f_{r+1}(1)\right) \\ &\qquad + \left(f_{r+1}(3) - f_{r+1}(2)\right) \\ &\qquad + \cdots \\ &\qquad + \left(f_{r+1}(N) - f_{r+1}(N-1)\right) \Big] \\ &= \frac{1}{r+1}f_{r+1}(N) \qquad (\because f_{r+1}(0) = 0) \\ &= \frac{1}{r+1}N(N+1)(N+2)\cdots(N+r) \end{align*}}$

よって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} S_r(n) &= \frac{1}{r+1}n(n+1)(n+2)\cdots(n+r) \\ &= \frac{1}{r+1}\frac{(n+r)!}{(n-1)!} \\ &= \frac{1}{r+1} {}_{n+r}P_{r+1} \end{align*}}$

を得ます。

級数・フーリエ解析 (岩波数学公式 2)

作者:繁一, 森口,信, 一松,〓久, 宇田川
岩波書店

Amazon