オイラーの公式とド・モアブルの公式と三角関数の n 倍角の公式と

もう少し三角関数の公式シリーズ（目次）。　数年前に高校数学で複素数で学ぶことが拡充され（というか復活して）ド・モアブルの公式（ド・モアブルの定理）をやるようになりましたが、この公式はオイラーの公式を知ってると簡単に理解できます（むしろオイラーの公式に触れない方が不自然）。　この記事では、オイラーの公式とド・モアブルの公式の関係を簡単に導き、また、ド・モアブルの公式を使って正弦・余弦の ${ n }$ 倍角の公式を導きます。　これらの正弦・余弦の公式自体は ${ \sin\theta,\,\cos\theta }$ が混ざり合っているのであまり実用的ではありませんが、正接・余接の ${ n }$ 倍角の公式を導くのに使えます。

オイラーの公式は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \end{align*}}$

でしたね。

【この記事の目次】

オイラーの公式とド・モアブルの公式
正弦・余弦の n 倍角の公式
正接・余接の n 倍角の公式
- 小さい n での具体的な式
n 倍角の公式まとめ
- 【追記】

オイラーの公式とド・モアブルの公式

「オイラーの公式と三角関数の加法定理」の記事で行ったことと同様のことを行うと、ド・モアブルの公式は簡単に導出できます。 ${ n }$ を自然数として、オイラーの公式の偏角を ${ n\theta }$ とすると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} e^{in\theta} = \cos n\theta + i\sin n\theta \end{align*}}$

となります。　また、この式の左辺を、指数法則を使って変形すると*1

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} e^{in\theta} &= \left(e^{i\theta}\right)^n \\ &= \left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n \end{align*}}$

よって、以下のド・モアブルの公式が成り立つことが分かります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cos n\theta + i\sin n\theta = \left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n \end{align*}}$

正弦・余弦の n 倍角の公式

ド・モアブルの公式を使って三角関数の ${ n }$ 倍角の公式を導いてみましょう（2倍角と3倍角は以前の記事で導きました）。　導出の手順は、上記のド・モアブルの公式で右辺の ${ n }$ 乗を二項定理を使って展開し、実部と虚部を比べるだけです。

実用的な観点からは、（余弦の倍角の公式のように） ${ n }$ 倍角の公式として ${ \cos n\theta }$ を ${ \cos\theta }$ のみで表すような式が得られるといいのですが、ここでのアプローチではあまり綺麗な結果にまとめられないので、 ${ \sin\theta,\,\cos\theta }$ が混在した式までしか導きません。

二項定理

高校数学でやりますが、二項定理の復習をしておきましょう。　二項係数（組合せ数）を ${ {}_nC_r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{(n-r)!r!} }$ として、以下の公式が成り立ちます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} (a+b)^n &= \sum_{r=0}^n {}_nC_r \; a^{n-r}b^r \\ &= {}_nC_0 a^n + {}_nC_1 a^{n-1}b + {}_nC_2 a^{n-2}b^2 + \cdots + {}_nC_{n-1} ab^{n-1} + {}_nC_n b^n \end{align*}}$

二項定理をもう少し

ド・モアブルの公式を使って三角関数の ${ n }$ 倍角の公式を導くには、 ${ (\cos\theta + i\sin\theta)^n }$ を展開して実部と虚部にまとめる必要があるので、 ${ (a+b)^n }$ を展開して（虚数単位 ${ i }$ を含む） ${ b }$ の偶数冪と奇数冪にわけてまとめる式を導いておきましょう。

まず ${ n }$ が偶数の場合

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} (a+b)^n &= \left({}_nC_0 a^n + {}_nC_2 a^{n-2}b^2 + \cdots + {}_nC_{n} b^n\right) \\ &\qquad+ \left({}_nC_1 a^{n-1}b + {}_nC_3 a^{n-3}b^3 + \cdots {}_nC_{n-1} ab^{n-1}\right) \\[2mm] &= \sum_{r=0}^{\frac{n}{2}} {}_nC_{2r} a^{n-2r}b^{2r} + \sum_{r=0}^{\frac{n}{2}-1} {}_nC_{2r+1} a^{n-2r-1}b^{2r+1} \end{align*}}$

同様にして ${ n }$ が奇数の場合

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} (a+b)^n &= \left({}_nC_0 a^n + {}_nC_2 a^{n-2}b^2 + \cdots + {}_nC_{n} b^n\right) \\ &\qquad+ \left({}_nC_1 a^{n-1}b + {}_nC_3 a^{n-3}b^3 + \cdots {}_nC_{n-1} ab^{n-1}\right) \\[2mm] &= \sum_{r=0}^{\frac{n-1}{2}} {}_nC_{2r} a^{n-2r}b^{2r} + \sum_{r=0}^{\frac{n-1}{2}} {}_nC_{2r+1} a^{n-2r-1}b^{2r+1} \end{align*}}$

偶数の場合と奇数の場合の違いは和の上限のみです。　これらはガウス記号 ${ [x] }$ （ ${ x }$ を越えない最大の整数）を用いてまとめて書けて、結局 ${ (a+b)^n }$ は以下のように書けます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} (a+b)^n &= \sum_{r=0}^{[\frac{n}{2}]} {}_nC_{2r} a^{n-2r}b^{2r} + \sum_{r=0}^{[\frac{n-1}{2}]} {}_nC_{2r+1} a^{n-2r-1}b^{2r+1} \end{align*}}$

正弦・余弦の n 倍角の公式を導く

上記の展開式を ${ (\cos\theta + i\sin\theta)^n }$ に適用すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} (\cos\theta + i\sin\theta)^n &= \sum_{r=0}^{[\frac{n}{2}]} {}_nC_{2r} \cos^{n-2r}\theta \left(i\sin\theta\right)^{2r} \\ &\qquad+ \sum_{r=0}^{[\frac{n-1}{2}]} {}_nC_{2r+1} \cos^{n-2r-1}\theta \left(i\sin\theta\right)^{2r+1} \\[2mm] &= \sum_{r=0}^{[\frac{n}{2}]} (-1)^r {}_nC_{2r} \cos^{n-2r}\theta \sin^{2r}\theta \\ &\qquad+ i\sum_{r=0}^{[\frac{n-1}{2}]} (-1)^r {}_nC_{2r+1} \cos^{n-2r-1}\theta \sin^{2r+1}\theta \end{align*}}$

これと ${ \cos n\theta + i\sin n\theta }$ の実部と虚部を比べると（ ${ \sin\theta,\,\cos\theta }$ の因子の順序を変えて）

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cos n\theta &= \sum_{r=0}^{[\frac{n}{2}]} (-1)^r {}_nC_{2r} \sin^{2r}\theta \cos^{n-2r}\theta \\[4mm] \sin n\theta &= \sum_{r=0}^{[\frac{n-1}{2}]} (-1)^r {}_nC_{2r+1} \theta \sin^{2r+1}\theta \cos^{n-2r-1} \end{align*}}$

を得ます。

小さい n での具体的な式

${ n = 2 }$ の場合

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cos 2\theta &= \sum_{r=0}^1 (-1)^r {}_2C_{2r} \sin^{2r}\theta \cos^{2-2r}\theta \\ &= \cos^2\theta - \sin^2\theta \\[4mm] \sin n\theta &= \sum_{r=0}^0 (-1)^r {}_2C_{2r+1} \sin^{2r+1}\theta \cos^{1-2r}\theta \\ &= 2 \sin\theta \cos\theta \end{align*}}$

${ n = 3 }$ の場合

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cos 3\theta &= \sum_{r=0}^1 (-1)^r {}_3C_{2r} \sin^{2r}\theta \cos^{3-2r}\theta \\ &= \cos^3\theta - 3\sin^2\theta\cos\theta \\[4mm] \sin 3\theta &= \sum_{r=0}^1 (-1)^r {}_3C_{2r+1} \sin^{2r+1}\theta \cos^{2-2r}\theta \\ &= 3\sin\theta - \sin^3\theta \end{align*}}$

${ n = 4 }$ の場合

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cos 4\theta &= \sum_{r=0}^2 (-1)^r {}_4C_{2r} \sin^{2r}\theta \cos^{4-2r}\theta \\ &= \cos^4\theta - 6\sin^2\theta\cos^2\theta + \sin^4\theta \\[4mm] \sin 4\theta &= \sum_{r=0}^1 (-1)^r {}_4C_{2r+1} \sin^{2r+1}\theta\cos^{3-2r}\theta \\ &= 4\sin\theta\cos^3\theta - 4\sin^3\theta\cos\theta \end{align*}}$

まぁ、公式を導くのに使ったのは二項定理なので、各項の係数は二項係数（を1つ飛ばしにとったもの）に適当に符号を付けたものになってますね。　この公式を使って得た結果から、 ${ \cos\theta }$ や ${ \sin\theta }$ でなるべく統一した式に変形していくのはちょっと面倒そう。　ということで、次回は別のアプローチからそういう公式を導いてみる予定（余弦編・正弦編）。

正接・余接の n 倍角の公式

上記で導いた正弦・余弦 ${ n }$ 倍角の公式は ${ \sin\theta,\,\cos\theta }$ に関して同次な式になっているので、正接・余接の ${ n }$ 倍角の公式を導くことができます。　まずは正接 ${ \tan\theta }$ の ${ n }$ 倍角の公式から。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \tan n\theta &= \frac{\sin n\theta}{\cos n\theta} \\[2mm] &= \frac{\displaystyle \sum_{r=0}^{[\frac{n-1}{2}]} (-1)^r {}_nC_{2r+1} \theta \sin^{2r+1}\theta \cos^{n-2r-1}} {\displaystyle \sum_{r=0}^{[\frac{n}{2}]} (-1)^r {}_nC_{2r} \sin^{2r}\theta \cos^{n-2r}\theta} \end{align*}}$

分母・分子を ${ \cos^n\theta }$ で割って

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \tan n\theta &= \frac{\displaystyle \sum_{r=0}^{[\frac{n-1}{2}]} (-1)^r {}_nC_{2r+1} \theta \tan^{2r+1}\theta} {\displaystyle \sum_{r=0}^{[\frac{n}{2}]} (-1)^r {}_nC_{2r} \tan^{2r}\theta} \end{align*}}$

となります。　同様にして余接 ${ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} }$ の ${ n }$ 倍角の公式は（分母・分子を ${ \sin^n\theta }$ で割って）

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cot n\theta &= \frac{\displaystyle \sum_{r=0}^{[\frac{n}{2}]} (-1)^r {}_nC_{2r} \cot^{n-2r}\theta} {\displaystyle \sum_{r=0}^{[\frac{n-1}{2}]} (-1)^r {}_nC_{2r+1} \cot^{n-2r-1}\theta} \end{align*}}$

となります。

小さい n での具体的な式

小さい ${ n }$ に対して式を具体的に書き下しておきましょう：

${ n = 2 }$ の場合

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \tan 2\theta &= \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta} \\[2mm] \cot 2\theta &= \frac{\cot^2\theta - 1}{2\cot\theta} \end{align*}}$

${ n = 3 }$ の場合

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \tan 3\theta &= \frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta} \\[2mm] \cot 3\theta &= \frac{\cot^3\theta - 3\cot\theta}{3\cot^2\theta - 1} \end{align*}}$

${ n = 4 }$ の場合

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \tan 4\theta &= \frac{4\tan\theta-4\tan^3\theta}{1-6\tan^2\theta+\tan^4\theta} \\[2mm] \cot 4\theta &= \frac{\cot^4\theta - 6\cot^2\theta + 1}{4\cot^3\theta - 4\cot\theta} \end{align*}}$

${ n = 5 }$ の場合

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \tan 5\theta &= \frac{5\tan\theta - 10\tan^3\theta + \tan^5\theta}{1 - 10\tan^2\theta + 5\tan^4\theta} \\[2mm] \cot 5\theta &= \frac{\cot^5\theta - 10\cot^3\theta + 5\cot\theta}{5\cot^4\theta - 10\cot^2\theta + 1} \end{align*}}$

これらも二項係数がどのように出てきているかに着目すれば簡単に覚えられそうですね。

n 倍角の公式まとめ

今回導いた ${ n }$ 倍角の公式

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \tan n\theta &= \frac{\displaystyle \sum_{r=0}^{[\frac{n-1}{2}]} (-1)^r {}_nC_{2r+1} \theta \sin^{2r+1}\theta \cos^{n-2r-1}} {\displaystyle \sum_{r=0}^{[\frac{n}{2}]} (-1)^r {}_nC_{2r} \sin^{2r}\theta \cos^{n-2r}\theta} \\[4mm] \cot n\theta &= \frac{\displaystyle \sum_{r=0}^{[\frac{n}{2}]} (-1)^r {}_nC_{2r} \cot^{n-2r}\theta} {\displaystyle \sum_{r=0}^{[\frac{n-1}{2}]} (-1)^r {}_nC_{2r+1} \cot^{n-2r-1}\theta} \end{align*}}$