もう少し三角関数の公式シリーズ(目次)。 今回は逆三角関数の引数が純虚数の場合を考えます。 導く公式は を逆三角関数として、実数
に対して
を満たす実数 を
で表す式です。
【目次】
正弦
となり(『三角関数の公式を復習する (2) : 負の引数、純虚数の引数』を使っています)、最初と最後の式の実部・虚部を比べると
を得ます。 これが満たされるためには より
であればいいことがわかります。 それぞれの場合を見ていきましょう。
の場合、
より
。
の場合、
より
。
これらは複素関数として2つの分岐を与えるもので、通常 となる方、つまり
の場合をとります。 よって
【別導出】
『三角関数の公式を復習する (2) : 負の引数、純虚数の引数』で導いた公式
両辺の をとって
余弦
最初と最後の式の実部・虚部を比べると
となり、これが満たされるためには より、
であればいいことが分かります。 それぞれの場合を見ていくと
のとき、
より
。
のとき、
より
。
通常 となる方、つまり
の分岐をとり
を得ます。
【別導出】
さらに とおくと
正接
導出方法は正弦・余弦の場合と同様です。
となり、最初と最後の式の実部・虚部を比べると
を得ます。 (1) 式が満たされるためには であればいいことがわかるので、それぞれの場合をみていきましょう。
のとき、(2) 式より
。 『もしも高校で双曲線関数をやったなら (4) : 双曲線関数の倍角の公式』の公式を使えば
より となるので、
のときに解が存在して
。 よって
のとき、(2) 式より
。
の場合と同様にして
より となるので、
のときに解が存在して
。 よって
以上をまとめると
余接
余接の場合は正接の結果を使って簡単に導けます。
となります。
正割・余割
まずは正割。
余割も同様。 より
なので
まとめ
【修正】
- 正接・余接の表式を修正しました。