逆三角関数の公式：純虚数の引数

もう少し三角関数の公式シリーズ（目次）。　今回は逆三角関数の引数が純虚数の場合を考えます。　導く公式は ${f(x)}$ を逆三角関数として、実数 ${y}$ に対して

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} f(iy) = \alpha + i \beta \end{align*}}$

を満たす実数 ${\alpha,\,\beta}$ を ${y}$ で表す式です。

【目次】

正弦
- 【別導出】
余弦
- 【別導出】
正接
余接
正割・余割
まとめ
- 【修正】

正弦

${y}$ を実数とし、 ${\sin^{\small -1} iy = \alpha + i\beta}$ （ ${\alpha,\,\beta}$ は実数、 ${-\pi < \alpha \leqq \pi}$ ]*1）とおきます。　両辺の正弦をとると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} iy &= \sin\left(\alpha + i \beta\right) \\ &= \sin\alpha\cos i\beta + \cos\alpha\sin i\beta \\ &= \sin\alpha\cosh\beta + i\cos\alpha\sinh\beta \end{align*}}$

となり（『三角関数の公式を復習する (2) ：負の引数、純虚数の引数』を使っています）、最初と最後の式の実部・虚部を比べると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \begin{cases} \sin\alpha\cosh\beta = 0 \\[2mm] \cos\alpha\sinh\beta = y \end{cases} \end{align*}}$

を得ます。　これが満たされるためには ${\cosh\beta > 0}$ より ${\alpha = 0,\,\pi}$ であればいいことがわかります。　それぞれの場合を見ていきましょう。

${\alpha = 0}$ の場合、 ${\beta = \sinh^{\small -1} y}$ より ${ \sin^{-1}iy = i\sinh^{\small -1}y }$ 。
${\alpha = \pi}$ の場合、 ${\beta = -\sinh^{\small -1} y}$ より ${ \sin^{-1}iy = \pi - i\sinh^{\small -1}y }$ 。

これらは複素関数として2つの分岐を与えるもので、通常 ${-\frac{\pi}{2} \leqq \textrm{Re}(\sin^{-1}z) \leqq \frac{\pi}{2}}$ となる方、つまり ${\alpha = 0}$ の場合をとります。　よって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin^{-1}iy = i\sinh^{\small -1}y \end{align*}}$

【別導出】

『三角関数の公式を復習する (2) ：負の引数、純虚数の引数』で導いた公式 ${ \sin(ix) = i\sinh x}$ で ${ y = \sinh x}$ とおくと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin\left(i\sinh^{\small -1} y\right) = iy \end{align*}}$

両辺の ${\sin^{\small -1}}$ をとって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin^{\small -1} iy = i\sinh^{\small -1}y \end{align*}}$

余弦

${\cos^{\small -1} iy = \alpha + i\beta}$ （ ${\alpha,\,\beta}$ は実数、 ${-\pi < \alpha \leqq \pi}$ ）とおきます。　両辺の余弦をとると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} iy &= \cos\left(\alpha + i \beta\right) \\ &= \cos\alpha\cos i\beta - \sin\alpha\sin i\beta \\ &= \cos\alpha\cosh\beta - i\sin\alpha\sinh\beta \end{align*}}$

最初と最後の式の実部・虚部を比べると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \begin{cases} \cos\alpha\cosh\beta = 0 \\[2mm] \sin\alpha\sinh\beta = -y \end{cases} \end{align*}}$

となり、これが満たされるためには ${\cosh\beta > 0}$ より、 ${\alpha = \pm\frac{\pi}{2}}$ であればいいことが分かります。　それぞれの場合を見ていくと

${\alpha=\frac{\pi}{2}}$ のとき、 ${\beta = -\sinh^{\small -1}y}$ より ${\cos^{-1}iy = \frac{\pi}{2} - i\sinh^{\small -1}y}$ 。
${\alpha=-\frac{\pi}{2}}$ のとき、 ${\beta = \sinh^{\small -1}y}$ より ${\cos^{-1}iy = -\frac{\pi}{2} + i\sinh^{\small -1}y}$ 。

通常 ${0 \leqq \textrm{Re}(\cos^{-1}z) \leqq \pi}$ となる方、つまり ${\alpha = \frac{\pi}{2}}$ の分岐をとり

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cos^{-1}iy = \frac{\pi}{2} - i\sinh^{\small -1}y \end{align*}}$

を得ます。

【別導出】

${ \sin\theta = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)}$ で ${ \theta = is }$ とおくと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin is = \cos\left(\frac{\pi}{2} - is\right) \\ i\sinh s = \cos\left(\frac{\pi}{2} - is\right) \\ \therefore\,\cos^{\small -1}\left(i\sinh s\right) = \frac{\pi}{2} - is \end{align*}}$

さらに ${ s = \sinh^{\small -1} y}$ とおくと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cos^{\small -1}iy &= \frac{\pi}{2} - i\sinh^{\small -1} y \end{align*}}$

正接

導出方法は正弦・余弦の場合と同様です。　 ${y}$ を実数とし、 ${\tan^{\small -1} iy = \alpha + i\beta}$ （ ${\alpha,\,\beta}$ は実数、 ${-\frac{\pi}{2} < \alpha \leqq \frac{\pi}{2}}$ ）とおきます。　両辺の正接をとると（『複素変数の三角関数』参照）

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} iy &= \tan\left(\alpha + i \beta\right) \\ &= \frac{\sin2\alpha + i\sinh2\beta}{\cos2\alpha + \cosh2\beta} \end{align*}}$

となり、最初と最後の式の実部・虚部を比べると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \begin{cases} \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha + \cosh2\beta} = 0 & \cdots (1) \\[2mm] \frac{\sinh2\beta}{\cos2\alpha + \cosh2\beta} = y & \cdots (2) \end{cases} \end{align*}}$

を得ます。　(1) 式が満たされるためには ${ \alpha = 0,\,\frac{\pi}{2}}$ であればいいことがわかるので、それぞれの場合をみていきましょう。

${\alpha = 0}$ のとき、(2) 式より ${ \frac{\sinh2\beta}{1 + \cosh2\beta} = y }$ 。　『もしも高校で双曲線関数をやったなら (4) ：双曲線関数の倍角の公式』の公式を使えば

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{\sinh2\beta}{1 + \cosh2\beta} &= \frac{2\sinh\beta\cosh\beta}{2\cosh^2\beta} \\[2mm] &= \tanh\beta \end{align*}}$

より ${ y = \tanh \beta}$ となるので、 ${ -1 \leqq y \leqq 1}$ のときに解が存在して ${ \beta = \tanh^{\small -1} y}$ 。　よって ${\tan^{\small -1} iy = i\tanh^{\small -1} y}$

${\alpha = \frac{\pi}{2}}$ のとき、(2) 式より ${ \frac{\sinh2\beta}{-1 + \cosh2\beta} = y }$ 。　 ${\alpha = 0}$ の場合と同様にして

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{\sinh2\beta}{-1 + \cosh2\beta} &= \frac{2\sinh\beta\cosh\beta}{2\sinh^2\beta} \\[2mm] &= \frac{1}{\tanh\beta} \quad\left(=\coth\beta\right) \end{align*}}$

より ${ y = \frac{1}{\tanh \beta} }$ となるので、 ${ y \leqq -1,\, 1 \leqq y}$ のときに解が存在して ${ \beta = \tanh^{\small -1}\left(\frac{1}{y}\right)}$ 。　よって ${\tan^{\small -1} iy = \frac{\pi}{2} + i\tanh^{\small -1} \left(\frac{1}{y}\right)}$

以上をまとめると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \tan^{\small -1} iy = \begin{cases} i\tanh^{\small -1} y & (-1 \leqq y \leqq 1) \\[2mm] \dfrac{\pi}{2} + i\tanh^{\small -1}\left(\dfrac{1}{y}\right) & (y \leqq -1,\,1 \leqq y) \end{cases} \end{align*}}$

余接

余接の場合は正接の結果を使って簡単に導けます。　 ${\cot z = \frac{1}{\tan z}}$ より ${\cot^{\small -1} z = \tan^{\small -1} \left(\frac{1}{z}\right)}$ より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cot^{\small -1}iy &= \tan^{\small -1}\left(\frac{1}{iy}\right) \\ &= -\tan^{\small -1}\left(\frac{i}{y}\right) \\ &= \begin{cases} -\dfrac{\pi}{2} - i\tanh^{\small -1} y & (-1 \leqq y \leqq 1) \\[2mm] i\tanh^{\small -1}\left(\dfrac{1}{y}\right) & (y \leqq -1,\,1 \leqq y) \end{cases} \end{align*}}$

となります。

正割・余割

まずは正割。　 ${\sec z= \frac{1}{\cos z}}$ より ${\sec^{\small -1} z = \cos^{\small -1}\left(\frac{1}{z}\right)}$ なので

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sec^{\small -1} iy &= \cos^{\small -1}\left(\frac{1}{iy}\right) \\ &= \frac{\pi}{2} - i\sinh^{\small -1}\left(-\frac{1}{y}\right) \\ &= \frac{\pi}{2} + i\sinh^{\small -1}\left(\frac{1}{y}\right) \end{align*}}$

余割も同様。　 ${\csc z = \frac{1}{\sin z}}$ より ${\csc^{\small -1} z = \sin^{\small -1}\left(\frac{1}{z}\right)}$ なので

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \csc^{\small -1} iy &= \sin^{\small -1}\left(\frac{1}{iy}\right) \\ &= -i\sinh^{\small -1}\left(\frac{1}{y}\right) \end{align*}}$

まとめ

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin^{\small -1}iy &= i\sinh^{\small -1}y \\ \cos^{\small -1}iy &= \frac{\pi}{2} - i\sinh^{\small -1}y \\ \tan^{\small -1} iy &= \begin{cases} i\tanh^{\small -1} y & (-1 \leqq y \leqq 1) \\[2mm] \dfrac{\pi}{2} + i\tanh^{\small -1}\left(\dfrac{1}{y}\right) & (y \leqq -1,\,1 \leqq y) \end{cases} \\[2mm] \cot^{\small -1}iy &= \begin{cases} -\dfrac{\pi}{2} - i\tanh^{\small -1} y & (-1 \leqq y \leqq 1) \\[2mm] i\tanh^{\small -1}\left(\dfrac{1}{y}\right) & (y \leqq -1,\,1 \leqq y) \end{cases} \\[2mm] \sec^{\small -1}iy &= \frac{\pi}{2} + i\sinh^{\small -1}\left(\frac{1}{y}\right) \\ \csc^{\small -1}iy &= -i\sinh^{\small -1}\left(\frac{1}{y}\right) \end{align*}}$