逆双曲線関数の定義域を実数全体に拡張する

もう少し双曲線関数の公式シリーズ（目次）。　今回は逆双曲線関数の定義域を実数全体に拡張します。　双曲線関数の正弦・余割は値域が実数全体をとるので、その逆関数の定義域はすでに実数全体です。　よってこれらは拡張の必要がありません。

導く公式は、 ${f(x)}$ を逆双曲線関数（余弦・正割）として、実数 ${x}$ に対して

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} f(x) = \alpha + i \beta \end{align*}}$

を満たす実数 ${\alpha,\,\beta}$ を ${x}$ で表す式です。

【目次】

逆余弦関数
- 【別導出】
逆正接関数
- 【別導出】
逆余接関数
逆正割関数
まとめ
- 【修正】

逆余弦関数

${x}$ を実数とし、 ${\cosh^{\small -1} x = \alpha + i\beta}$ （ ${\alpha,\,\beta}$ は実数、 ${-\pi < \beta \leqq \pi}$ ]*1）とおきます。　両辺の余弦をとると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x &= \cosh\left(\alpha + i \beta\right) \\ &= \cosh\alpha\cosh i\beta + \sinh\alpha\sinh i\beta \\ &= \cosh\alpha\cos\beta + i\sinh\alpha\sinh\beta \end{align*}}$

となり、最初と最後の式の実部・虚部を比べると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \begin{cases} \cosh\alpha\cos\beta = x & \cdots (1) \\[2mm] \sinh\alpha\sin\beta = 0 & \cdots (2) \end{cases} \end{align*}}$

を得ます。　(2) 式が満たされるためには ${ \alpha = 0,\, \beta = 0,\,\pi}$ のいずれかが満たされていればいいことが分かります。　それぞれの場合を見ていきましょう。

${\alpha = 0}$ の場合、(1) 式より ${ \cos\beta = x}$ なので、 ${-1 \leqq x \leqq 1}$ なら解があって ${ \beta = \cos^{\small -1} x}$ 。
${\beta = 0}$ の場合、(1) 式より ${ \cosh\alpha= x }$ なので、 ${ x \geqq 1}$ なら解があって ${ \alpha = \pm\cosh^{\small -1} x }$ 。　分岐は ${0 \leqq \textrm{Re}(\cosh^{\small -1} x) < \infty}$ となるようにとって ${\alpha = \cosh^{\small -1} x}$ 。
${\beta = \pi}$ の場合、(1) 式より ${ -\cosh\alpha = x }$ なので、 ${ x \leqq -1}$ なら解があって ${ \alpha = \pm\cosh^{\small -1} (-x) }$ 。　ここでも複号は ${0 \leqq \textrm{Re}(\cosh^{\small -1} x) < \infty}$ となるようにとって ${\alpha = \cosh^{\small -1} (-x)}$

以上をまとめると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cosh^{-1}x = \begin{cases} \cosh^{\small -1} x & (x > 1) \\[2mm] i\cos^{\small -1} x & (-1 \leqq x \leqq 1) \\[2mm] \cosh^{\small -1} (-x) + \pi i & (x < -1) \end{cases} \end{align*}}$

【別導出】

上記と同じ表式を『複素関数としての逆三角関数』で導いた式

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cos^{\small -1} z = -i\log\left(i\sqrt{1 - z^2} + z\right) \qquad\cdots(\textrm{i}) \end{align*}}$

と『逆双曲線関数を対数関数で表す』で導いた式

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cosh^{\small -1}x = \log\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \qquad(x \geqq 1) \qquad\cdots(\textrm{ii}) \end{align*}}$

から導出してみましょう。　ただし (ii) 式を ${x < 1}$ の範囲に拡張する場合（というか複素数の引数に拡張する場合）、慣習的に定義を

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cosh^{\small -1}x = \log\Big(x + \sqrt{x - 1}\sqrt{x + 1}\Big) \qquad\cdots(\textrm{iii}) \end{align*}}$

とします。　以下、実数 ${s < 0}$ のとき、 ${\sqrt{s} = i\sqrt{-s}}$ となることに注意。

まずは ${|x| < 1}$ のとき。　 ${\cosh^{\small -1} x}$ は (iii) 式より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cosh^{\small -1} x &= \log\Big(x + \sqrt{x - 1}\sqrt{x + 1}\Big) \\ &= \log\Big(x + i\sqrt{- x + 1}\sqrt{x + 1}\Big) \qquad(\because x - 1 < 0) \\ &= i\left\{-i\log\left(x + i\sqrt{1 - x^2}\right)\right\} \\ &= i\cos^{\small -1} x \qquad \left(\because (\textrm{i})\right) \end{align*}}$

次は ${x < -1}$ のとき。　(iii) 式より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cosh^{\small -1} x &= \log\Big(x + \sqrt{x - 1}\sqrt{x + 1}\Big) \\ &= \log\Big(x + i\sqrt{- x + 1}\cdot i\sqrt{- x - 1}\Big) \\ &= \log\Big(x - \sqrt{(- x)^2 - 1}\Big) \\ &= \log\left\{-\Big(-x + \sqrt{(- x)^2 - 1}\Big)\right\} \\ &= \log\Big(-x + \sqrt{(- x)^2 - 1}\Big) + \pi i \\ &= \cosh^{\small -1}(-x) + \pi i \end{align*}}$

となり、同じ表式が導けました。

逆正接関数

${x}$ を実数とし、 ${\tanh^{\small -1} x = \alpha + i\beta}$ （ ${\alpha,\,\beta}$ は実数、 ${-\frac{\pi}{2} < \beta \leqq \frac{\pi}{2}}$ ]）とおきます。　両辺の正接をとると（『複素変数の三角関数』参照）

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x &= \tanh\left(\alpha + i \beta\right) \\ &= \frac{\sinh2\alpha + i\sin2\beta}{\cosh2\alpha + \cos2\beta} \end{align*}}$

となり、最初と最後の式の実部・虚部を比べると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \begin{cases} \frac{\sinh2\alpha}{\cosh2\alpha + \cos2\beta} = x & \cdots (3) \\[2mm] \frac{\sin2\beta}{\cosh2\alpha + \cos2\beta} = 0 & \cdots (4) \end{cases} \end{align*}}$

を得ます。　(4) 式が満たされるためには ${ \beta = 0,\,\frac{\pi}{2}}$ であればいいことがわかるので、それぞれの場合をみていきましょう。

${\beta = 0}$ のとき、(3) 式より ${ \frac{\sinh2\alpha}{\cosh2\alpha + 1} = x }$ 。　『もしも高校で双曲線関数をやったなら (4) ：双曲線関数の倍角の公式』の公式を使えば

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{\sinh2\alpha}{\cosh2\alpha + 1} &= \frac{2\sinh\alpha\cosh\alpha}{2\cosh^2\alpha} \\[2mm] &= \tanh\alpha \end{align*}}$

より ${ x = \tanh \alpha}$ となるので、 ${ -1 \leqq x \leqq 1}$ のときに解が存在して ${ \alpha = \tanh^{\small -1} x}$ 。　よって ${\tanh^{\small -1} x = \tanh^{\small -1} x}$ 。

${\beta = \frac{\pi}{2}}$ のとき、(2) 式より ${ \frac{\sinh2\alpha}{\cosh2\alpha - 1} = x }$ 。　 ${\beta = 0}$ の場合と同様にして

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{\sinh2\alpha}{\cosh2\alpha - 1} &= \frac{2\sinh\alpha\cosh\alpha}{2\sinh^2\alpha} \\[2mm] &= \frac{1}{\tanh\alpha} \quad\left(=\coth\alpha\right) \end{align*}}$

より ${ x = \frac{1}{\tanh \alpha} }$ となるので、 ${ x \leqq -1,\, 1 \leqq x}$ のときに解が存在して ${ \alpha = \tanh^{\small -1}\left(\frac{1}{x}\right)}$ 。　よって ${\tanh^{\small -1} x = \tanh^{\small -1} \left(\frac{1}{x}\right) + \frac{\pi i}{2}}$

以上をまとめると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \tanh^{\small -1} x = \begin{cases} \tanh^{\small -1} x & (-1 \leqq x \leqq 1) \\[2mm] \tanh^{\small -1} \left(\dfrac{1}{x}\right) + \dfrac{\pi i}{2} & (x \leqq -1,\,1 \leqq x) \end{cases} \end{align*}}$

【別導出】

上記の表式を『逆双曲線関数を対数関数で表す』で得た式

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \tanh^{\small -1} x = \frac{1}{2}\log\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) \end{align*}}$

から導いてみましょう。　ただし、この式は ${|x| \leqq 1}$ の範囲で導いたものですが、 ${|x| > 1}$ の範囲でも同じ式が成り立つとします。　以下、 ${|x| > 1}$ として

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \tanh^{\small -1} x &= \frac{1}{2}\log\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) \\ &= \frac{1}{2}\log\left(\frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{1}{x} - 1}\right) \\ &= \frac{1}{2}\log\left(\frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}\right) + \frac{\pi i}{2} \qquad\left(\because\log(-1) = \pi i\right) \\ &= \tanh^{\small -1} \left(\frac{1}{x}\right) + \frac{\pi i}{2} \end{align*}}$

を得ます。

逆余接関数

逆余接関数の場合は逆正接関数の結果を使って簡単に導けます。　 ${\coth z = \frac{1}{\tanh z}}$ より ${\coth^{\small -1} z = \tanh^{\small -1} \left(\frac{1}{z}\right)}$ より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \coth^{\small -1} x &= \tanh^{\small -1}\left(\frac{1}{x}\right) \\ &= \begin{cases} \tanh^{\small -1} x + \dfrac{\pi i}{2} & (-1 \leqq x \leqq 1) \\[2mm] \tanh^{\small -1}\left(\dfrac{1}{x}\right) & (x \leqq -1,\,1 \leqq x) \end{cases} \end{align*}}$

となります。

逆正割関数

${\textrm{sech} x= \frac{1}{\cosh x}}$ より ${\textrm{sech}^{\small -1} x = \cosh^{\small -1}\left(\frac{1}{x}\right)}$ なので

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textrm{sech}^{-1}\,x = \begin{cases} i\cos^{\small -1} \left(\dfrac{1}{x}\right) & (x \leqq -1,\, 1 \leqq x) \\[2mm] \cosh^{\small -1} \left(\dfrac{1}{x}\right) & (0 < x < 1) \\[2mm] \cosh^{\small -1} \left(-\dfrac{1}{x}\right) + \pi i & (-1 < x < 0) \end{cases} \end{align*}}$

まとめ

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cosh^{-1}x &= \begin{cases} \cosh^{\small -1} x & (x > 1) \\[2mm] i\cos^{\small -1} x & (-1 \leqq x \leqq 1) \\[2mm] \cosh^{\small -1} (-x) + \pi i & (x < -1) \end{cases} \\[2mm] \tanh^{\small -1} x &= \begin{cases} \tanh^{\small -1} x & (-1 \leqq x \leqq 1) \\[2mm] \tanh^{\small -1} \left(\dfrac{1}{x}\right) + \dfrac{\pi i}{2} & (x \leqq -1,\,1 \leqq x) \end{cases} \\[2mm] \coth^{\small -1} x &= \begin{cases} \tanh^{\small -1} x + \dfrac{\pi i}{2} & (-1 \leqq x \leqq 1) \\[2mm] \tanh^{\small -1}\left(\dfrac{1}{x}\right) & (x \leqq -1,\,1 \leqq x) \end{cases} \\[2mm] \textrm{sech}^{-1}\,x &= \begin{cases} i\cos^{\small -1} \left(\dfrac{1}{x}\right) & (x \leqq -1,\, 1 \leqq x) \\[2mm] \cosh^{\small -1} \left(\dfrac{1}{x}\right) & (0 < x < 1) \\[2mm] \cosh^{\small -1} \left(-\dfrac{1}{x}\right) + \pi i & (-1 < x < 0) \end{cases} \end{align*}}$