倭算数理研究所

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逆双曲線関数の定義域を実数全体に拡張する

もう少し双曲線関数の公式シリーズ(目次)。 今回は逆双曲線関数の定義域を実数全体に拡張します。 双曲線関数の正弦・余割は値域が実数全体をとるので、その逆関数の定義域はすでに実数全体です。 よってこれらは拡張の必要がありません。

導く公式は、{f(x)} を逆双曲線関数余弦・正割)として、実数 {x} に対して

  { \displaystyle\begin{align*}
  f(x) = \alpha + i \beta
\end{align*}}

を満たす実数 {\alpha,\,\beta}{x} で表す式です。

【目次】

余弦関数

 {x} を実数とし、{\cosh^{\small -1} x = \alpha + i\beta}{\alpha,\,\beta} は実数、{-\pi < \beta \leqq \pi}]*1)とおきます。 両辺の余弦をとると

  { \displaystyle\begin{align*}
    x &= \cosh\left(\alpha + i \beta\right) \\
        &= \cosh\alpha\cosh i\beta + \sinh\alpha\sinh i\beta \\
        &= \cosh\alpha\cos\beta + i\sinh\alpha\sinh\beta
\end{align*}}

となり、最初と最後の式の実部・虚部を比べると

  { \displaystyle\begin{align*}
  \begin{cases}
    \cosh\alpha\cos\beta = x & \cdots (1) \\[2mm]
    \sinh\alpha\sin\beta = 0 & \cdots (2)
  \end{cases}
\end{align*}}

を得ます。 (2) 式が満たされるためには { \alpha = 0,\, \beta = 0,\,\pi} のいずれかが満たされていればいいことが分かります。 それぞれの場合を見ていきましょう。

  • {\alpha = 0} の場合、(1) 式より { \cos\beta = x} なので、{-1 \leqq x \leqq 1} なら解があって { \beta = \cos^{\small -1} x}
  • {\beta = 0} の場合、(1) 式より { \cosh\alpha= x } なので、{ x \geqq 1} なら解があって { \alpha = \pm\cosh^{\small -1} x }。 分岐は {0 \leqq \textrm{Re}(\cosh^{\small -1} x) < \infty} となるようにとって {\alpha = \cosh^{\small -1} x}
  • {\beta = \pi} の場合、(1) 式より { -\cosh\alpha = x } なので、{ x \leqq -1} なら解があって { \alpha = \pm\cosh^{\small -1} (-x) }。 ここでも複号は {0 \leqq \textrm{Re}(\cosh^{\small -1} x) < \infty} となるようにとって {\alpha = \cosh^{\small -1} (-x)}

以上をまとめると

  { \displaystyle\begin{align*}
  \cosh^{-1}x = 
    \begin{cases}
      \cosh^{\small -1} x & (x > 1) \\[2mm]
      i\cos^{\small -1} x & (-1 \leqq x \leqq 1) \\[2mm]
      \cosh^{\small -1} (-x)  + \pi i & (x < -1)
    \end{cases}
\end{align*}}

【別導出】
上記と同じ表式を『複素関数としての逆三角関数』で導いた式

  { \displaystyle\begin{align*}
  \cos^{\small -1} z = -i\log\left(i\sqrt{1 - z^2} + z\right) \qquad\cdots(\textrm{i})
\end{align*}}

と『逆双曲線関数を対数関数で表す』で導いた式

  { \displaystyle\begin{align*}
  \cosh^{\small -1}x = \log\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)  \qquad(x \geqq 1) \qquad\cdots(\textrm{ii})
\end{align*}}

から導出してみましょう。 ただし (ii) 式を {x < 1} の範囲に拡張する場合(というか複素数の引数に拡張する場合)、慣習的に定義を

  { \displaystyle\begin{align*}
  \cosh^{\small -1}x = \log\Big(x + \sqrt{x - 1}\sqrt{x + 1}\Big)  \qquad\cdots(\textrm{iii})
\end{align*}}

とします。 以下、実数 {s < 0} のとき、{\sqrt{s} = i\sqrt{-s}} となることに注意。

まずは {|x| < 1} のとき。 {\cosh^{\small -1} x} は (iii) 式より

  { \displaystyle\begin{align*}
  \cosh^{\small -1} x
    &= \log\Big(x + \sqrt{x - 1}\sqrt{x + 1}\Big)  \\
    &= \log\Big(x + i\sqrt{- x + 1}\sqrt{x + 1}\Big)  \qquad(\because x - 1 < 0) \\
    &= i\left\{-i\log\left(x + i\sqrt{1 - x^2}\right)\right\}  \\
    &= i\cos^{\small -1} x  \qquad \left(\because (\textrm{i})\right)
\end{align*}}

次は {x < -1} のとき。 (iii) 式より

  { \displaystyle\begin{align*}
  \cosh^{\small -1} x
    &= \log\Big(x + \sqrt{x - 1}\sqrt{x + 1}\Big)  \\
    &= \log\Big(x + i\sqrt{- x + 1}\cdot i\sqrt{- x - 1}\Big) \\
    &= \log\Big(x  - \sqrt{(- x)^2 - 1}\Big) \\
    &= \log\left\{-\Big(-x  + \sqrt{(- x)^2 - 1}\Big)\right\} \\
    &= \log\Big(-x  + \sqrt{(- x)^2 - 1}\Big) + \pi i \\
    &= \cosh^{\small -1}(-x) + \pi i
\end{align*}}

となり、同じ表式が導けました。

正接関数

 {x} を実数とし、{\tanh^{\small -1} x = \alpha + i\beta}{\alpha,\,\beta} は実数、{-\frac{\pi}{2} < \beta \leqq \frac{\pi}{2}}])とおきます。 両辺の正接をとると(『複素変数の三角関数』参照)

  { \displaystyle\begin{align*}
    x &= \tanh\left(\alpha + i \beta\right) \\
        &= \frac{\sinh2\alpha + i\sin2\beta}{\cosh2\alpha + \cos2\beta} 
\end{align*}}

となり、最初と最後の式の実部・虚部を比べると

  { \displaystyle\begin{align*}
  \begin{cases}
     \frac{\sinh2\alpha}{\cosh2\alpha + \cos2\beta}  = x  & \cdots (3) \\[2mm]
     \frac{\sin2\beta}{\cosh2\alpha + \cos2\beta}  = 0 & \cdots (4)
  \end{cases}
\end{align*}}

を得ます。 (4) 式が満たされるためには { \beta = 0,\,\frac{\pi}{2}} であればいいことがわかるので、それぞれの場合をみていきましょう。

{\beta = 0} のとき、(3) 式より { \frac{\sinh2\alpha}{\cosh2\alpha + 1}  = x }。 『もしも高校で双曲線関数をやったなら (4) : 双曲線関数の倍角の公式』の公式を使えば

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{\sinh2\alpha}{\cosh2\alpha + 1}
    &= \frac{2\sinh\alpha\cosh\alpha}{2\cosh^2\alpha} \\[2mm]
    &= \tanh\alpha
\end{align*}}

より { x = \tanh \alpha} となるので、{ -1 \leqq x \leqq 1} のときに解が存在して { \alpha = \tanh^{\small -1} x}。 よって {\tanh^{\small -1} x = \tanh^{\small -1} x}

{\beta = \frac{\pi}{2}} のとき、(2) 式より { \frac{\sinh2\alpha}{\cosh2\alpha - 1}  = x }。 {\beta = 0} の場合と同様にして

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{\sinh2\alpha}{\cosh2\alpha - 1}
    &= \frac{2\sinh\alpha\cosh\alpha}{2\sinh^2\alpha} \\[2mm]
    &= \frac{1}{\tanh\alpha} \quad\left(=\coth\alpha\right)
\end{align*}}

より { x = \frac{1}{\tanh \alpha} } となるので、{ x \leqq -1,\, 1 \leqq x} のときに解が存在して { \alpha = \tanh^{\small -1}\left(\frac{1}{x}\right)}。 よって {\tanh^{\small -1} x = \tanh^{\small -1} \left(\frac{1}{x}\right) + \frac{\pi i}{2}}

以上をまとめると

  { \displaystyle\begin{align*}
  \tanh^{\small -1} x =
    \begin{cases}
      \tanh^{\small -1} x & (-1 \leqq x \leqq 1) \\[2mm]
      \tanh^{\small -1} \left(\dfrac{1}{x}\right) + \dfrac{\pi i}{2} & (x \leqq -1,\,1 \leqq x)
    \end{cases}
\end{align*}}

【別導出】
上記の表式を『逆双曲線関数を対数関数で表す』で得た式

  { \displaystyle\begin{align*}
  \tanh^{\small -1} x = \frac{1}{2}\log\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)
\end{align*}}

から導いてみましょう。 ただし、この式は {|x| \leqq 1} の範囲で導いたものですが、{|x| > 1} の範囲でも同じ式が成り立つとします。 以下、{|x| > 1} として

  { \displaystyle\begin{align*}
  \tanh^{\small -1} x
    &= \frac{1}{2}\log\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) \\
    &= \frac{1}{2}\log\left(\frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{1}{x} - 1}\right) \\
    &= \frac{1}{2}\log\left(\frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}\right) + \frac{\pi i}{2} \qquad\left(\because\log(-1) = \pi i\right) \\
    &= \tanh^{\small -1} \left(\frac{1}{x}\right) + \frac{\pi i}{2}
\end{align*}}

を得ます。

逆余接関数

逆余接関数の場合は逆正接関数の結果を使って簡単に導けます。 {\coth z = \frac{1}{\tanh z}} より {\coth^{\small -1} z = \tanh^{\small -1} \left(\frac{1}{z}\right)} より

  { \displaystyle\begin{align*}
  \coth^{\small -1} x
    &=  \tanh^{\small -1}\left(\frac{1}{x}\right) \\
    &= \begin{cases}
      \tanh^{\small -1} x + \dfrac{\pi i}{2} & (-1 \leqq x \leqq 1) \\[2mm]
      \tanh^{\small -1}\left(\dfrac{1}{x}\right) & (x \leqq -1,\,1 \leqq x)
    \end{cases}
\end{align*}}

となります。

逆正割関数

{\textrm{sech} x= \frac{1}{\cosh x}} より {\textrm{sech}^{\small -1} x = \cosh^{\small -1}\left(\frac{1}{x}\right)} なので

  { \displaystyle\begin{align*}
  \textrm{sech}^{-1}\,x = 
    \begin{cases}
      i\cos^{\small -1} \left(\dfrac{1}{x}\right) & (x \leqq -1,\, 1 \leqq x) \\[2mm]
      \cosh^{\small -1} \left(\dfrac{1}{x}\right) & (0 < x < 1) \\[2mm]
      \cosh^{\small -1} \left(-\dfrac{1}{x}\right)  + \pi i & (-1 < x < 0)
    \end{cases}
\end{align*}}

まとめ

  { \displaystyle\begin{align*}
  \cosh^{-1}x &= 
    \begin{cases}
      \cosh^{\small -1} x & (x > 1) \\[2mm]
      i\cos^{\small -1} x & (-1 \leqq x \leqq 1) \\[2mm]
      \cosh^{\small -1} (-x)  + \pi i & (x < -1)
    \end{cases} \\[2mm]
  \tanh^{\small -1} x &=
    \begin{cases}
      \tanh^{\small -1} x & (-1 \leqq x \leqq 1) \\[2mm]
      \tanh^{\small -1} \left(\dfrac{1}{x}\right) + \dfrac{\pi i}{2} & (x \leqq -1,\,1 \leqq x)
    \end{cases} \\[2mm]
  \coth^{\small -1} x
    &= \begin{cases}
      \tanh^{\small -1} x + \dfrac{\pi i}{2} & (-1 \leqq x \leqq 1) \\[2mm]
      \tanh^{\small -1}\left(\dfrac{1}{x}\right) & (x \leqq -1,\,1 \leqq x)
    \end{cases} \\[2mm]
  \textrm{sech}^{-1}\,x &= 
    \begin{cases}
      i\cos^{\small -1} \left(\dfrac{1}{x}\right) & (x \leqq -1,\, 1 \leqq x) \\[2mm]
      \cosh^{\small -1} \left(\dfrac{1}{x}\right) & (0 < x < 1) \\[2mm]
      \cosh^{\small -1} \left(-\dfrac{1}{x}\right) + \pi i & (-1 < x < 0)
    \end{cases}
\end{align*}}

【修正】

  • 正接関数・逆余接関数の箇所を追記しました。
  • 余弦関数の分岐のとりかたを修正しました。
  • 余弦関数の表式の別導出を追記しました。

*1:この範囲は、実際には関数の値が一意に定まるように後で決定すべきものですが、簡単のため、三角関数双曲線関数の関係を考慮して最初から指定しています。 逆正接関数の場合も同様ですが、周期を半分にしています。