倭算数理研究所

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逆双曲線関数の定義域を実数全体に拡張する

もう少し双曲線関数の公式シリーズ(目次)。 今回は逆双曲線関数の定義域を実数全体に拡張します。 双曲線関数の正弦・余割は値域が実数全体をとるので、その逆関数の定義域はすでに実数全体です。 よってこれらは拡張の必要がありません。

導く公式は、{f(x)} を逆双曲線関数余弦・正割)として、実数 {x} に対して

  { \displaystyle\begin{align*}
  f(x) = \alpha + i \beta
\end{align*}}

を満たす実数 {\alpha,\,\beta}{x} で表す式です。

【目次】

余弦関数

 {x} を実数とし、{\cosh^{\small -1} x = \alpha + i\beta}{\alpha,\,\beta} は実数、{-\pi < \beta \leqq \pi})とおきます。 両辺の余弦をとると

  { \displaystyle\begin{align*}
    x &= \cosh\left(\alpha + i \beta\right) \\
        &= \cosh\alpha\cosh i\beta + \sinh\alpha\sinh i\beta \\
        &= \cosh\alpha\cos\beta + i\sinh\alpha\sinh\beta
\end{align*}}

となり、最初と最後の式の実部・虚部を比べると

  { \displaystyle\begin{align*}
  \begin{cases}
    \cosh\alpha\cos\beta = x & \cdots (1) \\[2mm]
    \sinh\alpha\sin\beta = 0 & \cdots (2)
  \end{cases}
\end{align*}}

を得ます。 (2) 式が満たされるためには { \alpha = 0,\, \beta = 0,\,\pi} のいずれかが満たされていればいいことが分かります。 それぞれの場合を見ていきましょう。

  • {\alpha = 0} の場合、(1) 式より { \cos\beta = x} なので、{-1 \leqq x \leqq 1} なら解があって { \beta = \cos^{\small -1} x}
  • {\beta = 0} の場合、(1) 式より { \cosh\alpha= x } なので、{ x > 1} なら解があって { \alpha = \cosh^{\small -1} x }
  • {\beta = \pi} の場合、(1) 式より { -\cosh\alpha = x } なので、{ x < -1} なら解があって { \alpha = \pm\cosh^{\small -1} (-x) }。 複号は『逆双曲線関数を対数関数で表す』に合わせると負符号をとります。

以上をまとめると

  { \displaystyle\begin{align*}
  \cosh^{-1}x = 
    \begin{cases}
      \cosh^{\small -1} x & (x > 1) \\[2mm]
      i\cos^{\small -1} x & (-1 \leqq x \leqq 1) \\[2mm]
      -\cosh^{\small -1} (-x)  + \pi i & (x < -1)
    \end{cases}
\end{align*}}

【別導出】
上記と同じ表式を『複素関数としての逆三角関数』で導いた式

  { \displaystyle\begin{align*}
  \cos^{\small -1} z = -i\log\left(i\sqrt{1 - z^2} + z\right) \qquad\cdots(\textrm{i})
\end{align*}}

と『逆双曲線関数を対数関数で表す』で導いた式

  { \displaystyle\begin{align*}
  \cosh^{\small -1}x = \log\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)  \qquad(x \geqq 1) \qquad\cdots(\textrm{ii})
\end{align*}}

から導出してみましょう(ただし (ii) 式がすべての実数 {x} に対して成り立つとして)。 まずは {|x| < 1} のとき {\cosh^{\small -1} x} は (ii) 式より

  { \displaystyle\begin{align*}
  \cosh^{\small -1} x
    &= \log\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)  \\
    &= i\left\{-i\log\left(x + i\sqrt{1 - x^2}\right)\right\}  \\
    &= i\cos^{\small -1} x  \qquad \left(\because (\textrm{i})\right)
\end{align*}}

次に {x < -1} の場合の式を導くために (ii) 式を少し変形しておきます。

  { \displaystyle\begin{align*}
  \cosh^{\small -1}x
    &= \log\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \\
    &= -\log\left(\frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}}\right)  \\
    &= -\log\left(x - \sqrt{x^2 - 1}\right)
\end{align*}}

この式を用いて {x < -1} のとき {\cosh^{\small -1} x}

  { \displaystyle\begin{align*}
  \cosh^{\small -1} x
    &= -\log\left(x - \sqrt{x^2 - 1}\right)  \\
    &= -\log\left\{-\left(-x + \sqrt{(-x)^2 - 1}\right)\right\}  \\
    &= -\cosh^{\small -1} (-x) + \pi i
\end{align*}}

ただし、{m} を整数として {\log(-1) = (2m+1)\pi i} と表されるので、{\cosh^{\small -1} x} の虚部が {-\pi < \textrm{Im}\left(\cosh^{\small -1} x\right) \leqq \pi} を満たすように {m = -1} ととっています。

正接関数

 {x} を実数とし、{\tanh^{\small -1} x = \alpha + i\beta}{\alpha,\,\beta} は実数)とおきます。 両辺の正接をとると(『複素変数の三角関数』参照)

  { \displaystyle\begin{align*}
    x &= \tanh\left(\alpha + i \beta\right) \\
        &= \frac{\sinh2\alpha + i\sin2\beta}{\cosh2\alpha + \cos2\beta} 
\end{align*}}

となり、最初と最後の式の実部・虚部を比べると

  { \displaystyle\begin{align*}
  \begin{cases}
     \frac{\sinh2\alpha}{\cosh2\alpha + \cos2\beta}  = x  & \cdots (3) \\[2mm]
     \frac{\sin2\beta}{\cosh2\alpha + \cos2\beta}  = 0 & \cdots (4)
  \end{cases}
\end{align*}}

を得ます。 (4) 式が満たされるためには { \beta = 0,\,\frac{\pi}{2}} であればいいことがわかるので、それぞれの場合をみていきましょう。

{\beta = 0} のとき、(3) 式より { \frac{\sinh2\alpha}{\cosh2\alpha + 1}  = x }。 『もしも高校で双曲線関数をやったなら (4) : 双曲線関数の倍角の公式』の公式を使えば

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{\sinh2\alpha}{\cosh2\alpha + 1}
    &= \frac{2\sinh\alpha\cosh\alpha}{2\cosh^2\alpha} \\[2mm]
    &= \tanh\alpha
\end{align*}}

より { x = \tanh \alpha} となるので、{ -1 \leqq x \leqq 1} のときに解が存在して { \alpha = \tanh^{\small -1} x}。 よって {\tanh^{\small -1} x = \tanh^{\small -1} x}

{\beta = \frac{\pi}{2}} のとき、(2) 式より { \frac{\sinh2\alpha}{\cosh2\alpha - 1}  = x }。 {\beta = 0} の場合と同様にして

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{\sinh2\alpha}{\cosh2\alpha - 1}
    &= \frac{2\sinh\alpha\cosh\alpha}{2\sinh^2\alpha} \\[2mm]
    &= \frac{1}{\tanh\alpha} \quad\left(=\coth\alpha\right)
\end{align*}}

より { x = \frac{1}{\tanh \alpha} } となるので、{ x \leqq -1,\, 1 \leqq x} のときに解が存在して { \alpha = \tanh^{\small -1}\left(\frac{1}{x}\right)}。 よって {\tanh^{\small -1} x = \tanh^{\small -1} \left(\frac{1}{x}\right) + \frac{\pi i}{2}}

以上をまとめると

  { \displaystyle\begin{align*}
  \tanh^{\small -1} x =
    \begin{cases}
      \tanh^{\small -1} x & (-1 \leqq x \leqq 1) \\[2mm]
      \tanh^{\small -1} \left(\dfrac{1}{x}\right) + \dfrac{\pi i}{2} & (x \leqq -1,\,1 \leqq x)
    \end{cases}
\end{align*}}

逆余接関数

逆余接関数の場合は逆正接関数の結果を使って簡単に導けます。 {\coth z = \frac{1}{\tanh z}} より {\coth^{\small -1} z = \tanh^{\small -1} \left(\frac{1}{z}\right)} より

  { \displaystyle\begin{align*}
  \coth^{\small -1} x
    &=  \tanh^{\small -1}\left(\frac{1}{x}\right) \\
    &= \begin{cases}
      \tanh^{\small -1} x + \dfrac{\pi i}{2} & (-1 \leqq x \leqq 1) \\[2mm]
      \tanh^{\small -1}\left(\dfrac{1}{x}\right) & (x \leqq -1,\,1 \leqq x)
    \end{cases}
\end{align*}}

となります。

逆正割関数

{\textrm{sech} x= \frac{1}{\cosh x}} より {\textrm{sech}^{\small -1} x = \cosh^{\small -1}\left(\frac{1}{x}\right)} なので

  { \displaystyle\begin{align*}
  \textrm{sech}^{-1}\,x = 
    \begin{cases}
      i\cos^{\small -1} \left(\dfrac{1}{x}\right) & (x \leqq -1,\, 1 \leqq x) \\[2mm]
      \cosh^{\small -1} \left(\dfrac{1}{x}\right) & (0 < x < 1) \\[2mm]
      \cosh^{\small -1} \left(-\dfrac{1}{x}\right)  + \pi i & (-1 < x < 0)
    \end{cases}
\end{align*}}

まとめ

  { \displaystyle\begin{align*}
  \cosh^{-1}x &= 
    \begin{cases}
      \cosh^{\small -1} x & (x > 1) \\[2mm]
      i\cos^{\small -1} x & (-1 \leqq x \leqq 1) \\[2mm]
      -\cosh^{\small -1} (-x)  + \pi i & (x < -1)
    \end{cases} \\[2mm]
  \tanh^{\small -1} x &=
    \begin{cases}
      \tanh^{\small -1} x & (-1 \leqq x \leqq 1) \\[2mm]
      \tanh^{\small -1} \left(\dfrac{1}{x}\right) + \dfrac{\pi i}{2} & (x \leqq -1,\,1 \leqq x)
    \end{cases} \\[2mm]
  \coth^{\small -1} x
    &= \begin{cases}
      \tanh^{\small -1} x + \dfrac{\pi i}{2} & (-1 \leqq x \leqq 1) \\[2mm]
      \tanh^{\small -1}\left(\dfrac{1}{x}\right) & (x \leqq -1,\,1 \leqq x)
    \end{cases} \\[2mm]
  \textrm{sech}^{-1}\,x &= 
    \begin{cases}
      i\cos^{\small -1} \left(\dfrac{1}{x}\right) & (x \leqq -1,\, 1 \leqq x) \\[2mm]
      \cosh^{\small -1} \left(\dfrac{1}{x}\right) & (0 < x < 1) \\[2mm]
      \cosh^{\small -1} \left(-\dfrac{1}{x}\right) + \pi i & (-1 < x < 0)
    \end{cases}
\end{align*}}

【修正】

  • 正接関数・逆余接関数の箇所を追記しました。
  • 余弦関数の分岐のとりかたを修正しました。
  • 余弦関数の表式の別導出を追記しました。