不完全ベータ関数の公式あれこれ

不完全ベータ関数の Wikipedia ページに載っている公式を導いていきます。

定義
変数が特定の値をとる場合
a, b の交換
a, b の昇降
- a の昇降
- b の昇降
0 ≦ x ≦ 1 の範囲外の値
- x < 0
- x > 1
正規化された不完全ベータ関数
導いた公式まとめ

定義

ベータ関数 ${B(a,\,b)}$ は以下のように定義されるのでした：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} B(a,\,b) = \int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}dt \end{align*}}$

不完全ベータ関数 (incomplete beta function) ${B(x;\,a,\,b)}$ は、ベータ関数の定義の積分上端を変数にしたもので定義されます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} B(x;\,a,\,b) = \int_0^x t^{a-1}(1-t)^{b-1}dt \end{align*}}$

変数が特定の値をとる場合

${x = 0,\,1}$ の場合、 ${B(x;\,a,\,b)}$ の定義より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} B(0;\,a,\,b) &= 0, & B(1;\,a,\,b) &= B(a,\,b) \end{align*}}$

となります。

${b = 1,\,a=1}$ の場合は、定義の積分が簡単に実行できます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} B(x;\,a,\,1) &= \int_0^x t^{a-1}dt = \left[\frac{1}{a}x^a\right]_0^x \\ &= \frac{1}{a}x^a \\[2mm] B(x;\,1,\,b) &= \int_0^x (1-t)^{b-1}dt = \left[-\frac{1}{b}(1-t)^b\right]_0^x \\ &= \frac{1}{b}\left\{1 - (1-x)^b\right\} \end{align*}}$

a, b の交換

${a,\,b}$ を入れ替える公式は、簡単な積分変数の変換 ${t \mapsto s = 1- t}$ で導けます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} B(x;\,b,\,a) &= \int_0^x t^{b-1}(1-t)^{a-1}dt \\ &= -\int_1^{1-x} (1-s)^{b-1}s^{a-1}ds \qquad(s = 1-t)\\ &= \int_{1-x}^1 s^{a-1}(1-s)^{b-1}ds \\ &= \int_0^1 s^{a-1}(1-s)^{b-1}ds - \int_0^{1-x} s^{a-1}(1-s)^{b-1}ds \\ &= B(a,\,b) - B(1-x;\,a,\,b) \end{align*}}$

特に ${x = 1}$ として、上記で導いた公式も使うと、ベータ関数自体は引数 ${a,\,b}$ に関して対称 ${B(a,\,b) = B(b,\,a)}$ であることが分かります。

a, b の昇降

${B(x;\,a+1,\,b)}$ や ${B(x;\,a,\,b+1)}$ と ${B(x;,\,a,\,b)}$ との関係を導いてみましょう。

a の昇降

${B(x;\,a+1,\,b)}$ の定義で部分積分を行うと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} B(x;\,a+1,\,b) &= \int_0^x t^a (1-t)^{b-1}dt \\ &= \int_0^x t^a \left(-\frac{(1-t)^b}{b}\right)'dt \\ &= \left[-\frac{t^a(1-t)^b}{b}\right]_0^x + \frac{a}{b}\int_0^x t^{a-1}(1-t)^b dt \\ &= -\frac{x^a(1-x)^b}{b} + \frac{a}{b}B(x;\,a,\,b+1) \end{align*}}$

よって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} bB(x;\,a+1,\,b) = -x^a(1-x)^b + aB(x;\,a,\,b+1) \qquad\cdots (1) \end{align*}}$

ここで、 ${B(x;\,a,\,b+1)}$ の定義に戻って少し変形すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} B(x;\,a,\,b+1) &= \int_0^x t^{a-1}(1-t)^b dt \\ &= \int_0^x t^{a-1}(1-t)(1-t)^{b-1} dt \\ &= \int_0^x t^{a-1}(1-t)^{b-1} dt - \int_0^x t^a(1-t)^{b-1} dt \\ &= B(x;\,a,\,b) - B(x;\,a+1,\,b) \end{align*}}$

これを (1) 式に代入すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} bB(x;\,a+1,\,b) = -x^a(1-x)^b + aB(x;\,a,\,b) - aB(x;\,a+1,\,b) \end{align*}}$

${B(x;\,a+1,\,b)}$ について解くと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} B(x;\,a+1,\,b) = \frac{a}{a+b}B(x;\,a,\,b) - \frac{x^a(1-x)^b}{a+b} \end{align*}}$

を得ます。　特に ${x=1}$ から ${B(a+1,\,b) = \frac{a}{a+b}B(a,\,b)}$ となります。　 ${B(a,\,b)}$ が ${a,\,b}$ に関して対称だったので、 ${B(a,\,b+1) = \frac{b}{a+b}B(a,\,b)}$ も成り立ちます。

b の昇降

${B(x;\,a,\,b+1)}$ についても同様の方法で導けますが、ここでは ${a,\,b}$ を交換する公式を使って導いてみます。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} B(x;\,a,\,b+1) &= B(a,\,b+1) - B(1-x;\,b+1,\,a) \\ &= \frac{b}{a+b}B(a,\,b) - \frac{b}{a+b}B(1-x;\,b,\,a) + \frac{x^a(1-x)^b}{a+b} \\ &= \frac{b}{a+b}B(x;\,a,\,b) + \frac{x^a(1-x)^b}{a+b} \end{align*}}$

0 ≦ x ≦ 1 の範囲外の値

不完全ベータ関数 ${B(x;\,a,\,b)}$ の引数 ${x}$ は、定義的にも実用的*1にも ${0 \leqq x \leqq 1}$ の範囲内の値を扱うことがほとんどですが、この範囲外の値を ${0 \leqq x \leqq 1}$ 内の値と結びつける公式があるので、それを導いてみます。

x < 0

公式を導く前に少々。　不完全ベータ関数の定義の被積分関数には ${t^{a-1}}$ という因子があるので、 ${a}$ が整数でなければ ${t}$ が負のとき（よって ${x}$ が負のとき）不完全ベータ関数の値は実数になりません。　また、この因子は ${a}$ が0以下の整数のときに積分値を発散させるので、このとき不完全ベータ関数の値も発散します。

それでは公式の導出。　 ${t < 0}$ のとき、 ${s = \frac{t}{t-1}}$ で定義された変数 ${s}$ は ${0 < s < 1}$ の範囲内の値をとります。　不完全ベータ関数の定義の積分をこの ${s}$ を使った積分に変換します。

$t = -\frac{s}{1-s},\, 1-t = \frac{1}{1-s}$
積分測度: $dt = -\frac{ds}{(1-s)^2}$
積分範囲: ${s:\,0 \rightarrow \frac{x}{x-1}}$

この変換を施すと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} B(x;\,a,\,b) &= -\int_0^\frac{x}{x-1} \left(-\frac{s}{1-s}\right)^{a-1} \left(\frac{1}{1-s}\right)^{b-1} \frac{ds}{(1-s)^2} \\ &= (-1)^a \int_0^\frac{x}{x-1} s^{a-1}(1-s)^{-(a+b)}ds \\ &= (-1)^a B\left(\tfrac{x}{x-1};\,a,\,1-a-b\right) \end{align*}}$

となります。　因子 ${(-1)^a}$ より、これが実数となるのは ${a}$ が整数でなければならないことが一目で分かります。　一方、 ${b}$ はこの範囲で不完全ベータ関数の値が実数かどうかや発散には無関係です。

x > 1

${a,\,b}$ を交換する公式は ${x}$ と ${1-x}$ での不完全ベータ関数の値を関係づける公式でもあるので、 ${x > 1}$ の範囲の値を ${0 \leqq x \leqq 1}$ の範囲の値に関係づける公式は、 ${a,\,b}$ を交換する公式と ${x < 0}$ の範囲の値を得る公式から導けます。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} B(x;\,a,\,b) &= B(a,\,b) - B(1-x;\,b,\,a) \\ &= B(a,\,b) - (-1)^b B\left(\tfrac{x-1}{x};\,b,\,1-a-b\right) \end{align*}}$

第2項に ${(-1)^b}$ という因子があるので、この値が実数をとるためには ${b}$ が整数でなければなりません。　また、 ${B\left(\tfrac{x-1}{x};\,b,\,1-a-b\right)}$ は ${b}$ が0以下の整数のとき、 ${\tfrac{x-1}{x}}$ が0、すなわち ${x}$ が1で発散します。　ただし、このとき第1項の ${B(a,\,b)}$ も発散するので、きちんと評価するには定義に戻る必要がありますが。

${B(a,\,b)}$ は ${a}$ が0または負の整数のとき発散するので、 ${x > 1}$ のとき ${B(x;\,a,\,b)}$ もそうなります。

正規化された不完全ベータ関数

正規化された不完全ベータ関数 (regularized incomplete beta function) は以下で定義されます：
　　 ${ \displaystyle\begin{align*} I_x(a,\,b) = \frac{B(x;\,a,\,b)}{B(a,\,b)} \end{align*}}$

この ${I_x(a,\,b)}$ に対して上記の公式を書き換えておきましょう。　ただし、いくつかのベータ関数の性質は証明なく使います（ガンマ関数の性質 ${\Gamma(a+1) = a\Gamma(a)}$ と、ガンマ関数とベータ関数との関係 ${B(a,\,b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}}$ から簡単に導けます）。

変数が特定の値をとる場合

${x = 0,\,1}$ の場合は簡単：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} I_0(a,\,b) &= 0, & I_1(a,\,b) &= 1 \end{align*}}$

${b=1,\,a=1}$ の場合は ${B(a,\,1) = B(1,\,a) = \frac{1}{a}}$ より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} I_x(a,\,1) &= x^a, & I_x(1,\,b) &= 1 - (1-x)^b \\ \end{align*}}$

a, b の交換

${a,\,b}$ の交換も簡単：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} I_x(b,\,a) = 1 - I_{1-x}(a,\,b) \end{align*}}$

a, b の昇降

${B(a+1,\,b) = \frac{a}{a+b}B(a,\,b),\quad B(a,\,b+1) = \frac{b}{a+b}B(a,\,b)}$ より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} I_x(a+1,\,b) &= I_x(a,\,b) - \frac{x^a(1-x)^b}{aB(a,\,b)} \\ I_x(a,\,b+1) &= I_x(a,\,b) + \frac{x^a(1-x)^b}{bB(a,\,b)} \end{align*}}$

${I_x(a,\,b)}$ の ${0 \leqq x \leqq 1}$ の範囲外の値を計算する公式は使わなさそうなので略。

導いた公式まとめ

不完全ベータ関数 ${B(x;\,a,\,b)}$

${ \displaystyle\begin{align*} B(0;\,a,\,b) &= 0 \\ B(1;\,a,\,b) &= B(a,\,b) \\ B(x;\,a,\,1) &= \frac{1}{a}x^a \\ B(x;\,1,\,b) &= \frac{1}{b}\left\{1 - (1-x)^b\right\} \\ B(x;\,b,\,a) &= B(a,\,b) - B(1-x;\,a,\,b) \\ B(x;\,a+1,\,b) &= \frac{a}{a+b}B(x;\,a,\,b) - \frac{x^a(1-x)^b}{a+b} \\ B(x;\,a,\,b+1) &= \frac{b}{a+b}B(x;\,a,\,b) + \frac{x^a(1-x)^b}{a+b} \\ B(x;\,a,\,b) &= (-1)^a B\left(\tfrac{x}{x-1};\,a,\,1-a-b\right) \\ B(x;\,a,\,b) &= B(a,\,b) - (-1)^b B\left(\tfrac{x-1}{x};\,b,\,1-a-b\right) \end{align*}}$

正規化された不完全ベータ関数 ${I_x(a,\,b) = \dfrac{B(x;\,a,\,b)}{B(a,\,b)}}$

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} I_0(a,\,b) &= 0 \\ I_1(a,\,b) &= 1 \\ I_x(a,\,1) &= x^a \\ I_x(1,\,b) &= 1 - (1-x)^b \\ I_x(a+1,\,b) &= I_x(a,\,b) - \frac{x^a(1-x)^b}{aB(a,\,b)} \\ I_x(a,\,b+1) &= I_x(a,\,b) + \frac{x^a(1-x)^b}{bB(a,\,b)} \end{align*}}$