『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く A.4

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

作者: Eleanor G. Rieffel,Wolfgang H. Polak
出版社/メーカー: The MIT Press
発売日: 2011/03/04
メディア: Kindle版
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Exercise A.4. Show that the probability distributions ${ \mu }$ whose corresponding operators ${ M_\mu }$ are projectors are exactly the pure distributions.

有限集合 ${ A }$ 上の確率分布 ${ \mu }$ に対して、それに対応する演算子を ${ M_\mu }$ とします。

${ M_\mu }$ が射影子 ⇒ ${ \mu }$ が純粋な分布 定義より任意の関数 ${ g }$ に対して ${ M_\mu: g \mapsto \mu g }$ なので

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \left(M_\mu g\right)(a) &= \mu(a)g(a) \end{align*}}$

また

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \left(M_\mu^2 g\right)(a) &= \left(M_\mu\left(M_\mu g\right)\right)(a) \\ &= \left\{\mu(a)\right\}^2 g(a) \end{align*}}$

${ M_\mu }$ が射影子のとき ${ M_\mu^2 = M_\mu }$ なので

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \left\{\mu(a)\right\}^2 &= \mu(a) \\ \mu(a)\left\{\mu(a) - 1\right\} &= 0 \\ \therefore \, \mu(a) &= 0,\,1 \end{align*}}$

ここで、 ${ \mu }$ は確率分布なので ${ \sum_{a \in A} \mu(a) = 1 }$ が成り立ちます。　よって、 ${ \mu(a) }$ はある1つの ${ a }$ の値についてのみ1で、他の ${ a }$ の値については0となります。　つまり ${ \mu }$ は純粋な分布となります。

${ \mu }$ が純粋な分布 ⇒ ${ M_\mu }$ が射影子 ${ \mu }$ が ${ a = a' }$ のときのみ1で、他の ${ a }$ の値のときに0である純粋な関数であるとします。　このとき、 ${ g }$ を任意の関数として

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \left(M_\mu g\right)(a) &= \mu(a)g(a) \\ &= \delta_{aa'}g(a) \\[2mm] \left(M_\mu^2 g\right)(a) &= \left(M_\mu\left(M_\mu g\right)\right)(a) \\ &= \mu(a)\delta_{aa'}g(a) \\ &= \delta_{aa'}^2g(a) \\ &= \delta_{aa'}g(a) \end{align*}}$

よって ${ M_\mu^2 = M_\mu }$ となって、 ${ M_\mu }$ が射影子であることが示せました。

倭算数理研究所

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く A.4