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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く A.4

量子コンピューティング

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

目次はこちら。

Exercise A.4. Show that the probability distributions { \mu } whose corresponding operators { M_\mu } are projectors are exactly the pure distributions.

有限集合 { A } 上の確率分布 { \mu } に対して、それに対応する演算子を { M_\mu } とします。

{ M_\mu } が射影子 ⇒ { \mu } が純粋な分布 定義より任意の関数 { g } に対して { M_\mu: g \mapsto \mu g } なので

　　{ \displaystyle\begin{align*} \left(M_\mu g\right)(a) &= \mu(a)g(a) \end{align*}}

また

　　{ \displaystyle\begin{align*} \left(M_\mu^2 g\right)(a) &= \left(M_\mu\left(M_\mu g\right)\right)(a) \\ &= \left\{\mu(a)\right\}^2 g(a) \end{align*}}

{ M_\mu } が射影子のとき { M_\mu^2 = M_\mu } なので

　　{ \displaystyle\begin{align*} \left\{\mu(a)\right\}^2 &= \mu(a) \\ \mu(a)\left\{\mu(a) - 1\right\} &= 0 \\ \therefore \, \mu(a) &= 0,\,1 \end{align*}}

ここで、 { \mu } は確率分布なので { \sum_{a \in A} \mu(a) = 1 } が成り立ちます。　よって、 { \mu(a) } はある1つの { a } の値についてのみ1で、他の { a } の値については0となります。　つまり { \mu } は純粋な分布となります。

{ \mu } が純粋な分布 ⇒ { M_\mu } が射影子 { \mu } が { a = a' } のときのみ1で、他の { a } の値のときに0である純粋な関数であるとします。　このとき、 { g } を任意の関数として

　　{ \displaystyle\begin{align*} \left(M_\mu g\right)(a) &= \mu(a)g(a) \\ &= \delta_{aa'}g(a) \\[2mm] \left(M_\mu^2 g\right)(a) &= \left(M_\mu\left(M_\mu g\right)\right)(a) \\ &= \mu(a)\delta_{aa'}g(a) \\ &= \delta_{aa'}^2g(a) \\ &= \delta_{aa'}g(a) \end{align*}}

よって { M_\mu^2 = M_\mu } となって、 { M_\mu } が射影子であることが示せました。