もう少し三角関数の公式シリーズ（目次）。 今回は逆正弦関数と逆余弦関数の冪級数展開を見ていきます。 『逆正弦関数・逆余弦関数の高階導関数』で高階導関数を求めましたが、これを使って公式通りに冪級数展開を行うのはちょっと大変なので、別の方法で冪…

もう少し三角関数の公式シリーズ（目次）。 今回は、『逆三角関数の導関数』の結果を使って、逆正弦関数・逆余弦関数の高階導関数を求めます。逆正弦関数・逆余接関数の導関数は で与えられるのでした。 一応値域を明示してますが、今回は特に使いません。 …

もう少し三角関数の公式シリーズ（目次）。 今回は、前回導いた逆正接関数・逆正接関数の高階導関数を用いて、逆正接関数・逆余接関数の（ の周りでの）冪級数展開を導きます（高階導関数を使わずに簡単に導く方法もあります）。 逆正接関数・逆余接関数の高…

もう少し三角関数の公式シリーズ（目次）。 以前の記事『逆三角関数の導関数』にて逆正接関数・逆余接関数の導関数を計算しましたが、今回はさらにそれらの高階導関数を計算します。逆正接関数 ・逆余接関数 の導関数は以下で与えられるのでした： これらの…

もう少し三角関数の公式シリーズ（目次）。 今回は三角関数の逆関数である逆三角関数の導関数を計算します。逆三角関数は角度にあたる値域に制限を加える必要がありますが、その制限は各逆三角関数の箇所で指定しています。 たぶんここで指定している制限は…

三角関数の公式を復習するシリーズ（目次）。 高校数学で三角関数を含む積分をあれこれ計算できるようになるには多少の演習が必要かと思いますが、問題集をやる前に のような各三角関数の冪乗の積分をある程度できるようになっておいた方がいいでしょう。 こ…

特殊関数の公式を証明していくシリーズ（目次）。 今回はベッセル関数や変形ベッセル関数の での漸近的な振る舞いを見ていきます。 ベッセル関数の漸近展開にはいくつか種類があるようですが、今回見ていくのはハンケルの漸近展開というものです（たぶん一番…

特殊関数の公式を証明していくシリーズ（目次）。 前回、変形ベッセル関数の公式をいくつか導きましたが（追記あり）、今回は、そこで出てきたパラメータ が半奇数の場合の公式をもう少し深く掘り下げていきます。前回導いた公式変形ベッセル関数は、パラメ…

特殊関数の公式を証明していくシリーズ（目次）。 今回はベッセル関数の眷属である変形ベッセル関数。 定義と微分公式、パラメータ が半奇数の場合の式を見ていきます。これらの公式は基本的に『ベッセル関数の公式』で導いたものから容易に導くことができま…

特殊関数の公式を証明していくシリーズ（目次）。 今回はベッセルの微分方程式 のロンスキアン（『特殊関数のための微分方程式論 Quick Start ～ロンスキアン・自己随伴化～』参照）をベッセル関数の満たす公式から導きます。 ロンスキアンを微分方程式から…

特殊関数の公式を証明していくシリーズ（目次）。 以前の記事でベッセル関数や円柱関数の定義をみましたが、今回は後で使う（かも知れない）公式をいくつか導いていきます。 大半は微分の公式です。【この記事の内容】 定義 準備 1階微分 高階微分 シュレー…

特殊関数の公式を証明していくシリーズ（目次）。 微分方程式論、特殊関数についてのこちらのサイトの「Lectures」下にある PDF のノートが簡潔で非常に分かりやすかったので、後で使いそうな事項を見繕って、計算を追いつつまとめてみました。 と言いつつ、…

特殊関数の公式を証明していくシリーズ（目次）。 前回ベッセルの微分方程式の級数解としてベッセル関数を導きましたが、パラメータ が整数の場合はベッセル関数以外の解が存在します。 通常用いられるのはノイマン関数という関数で、前回は定義だけを見まし…

もう少し三角関数の公式シリーズ（目次）。 前回、余弦の 倍角の公式を導きましたが、基本的には同じ方法で正弦の 倍角の公式も導けます。 ただ、正弦の場合は が偶数か奇数かによって結構式が異なるので少々面倒です。 とは言え、タイトルに「導く」と付け…

もう少し三角関数の公式シリーズ（目次）。 前回はド・モアブルの公式を使って三角関数の 倍角の公式を導きましたが、そこで導いた公式では が混在した式になっていました。 今回は別の方法で もしくは にもう少し統一された公式を導きます。 できうる限り …

もう少し三角関数の公式シリーズ（目次）。 数年前に高校数学で複素数で学ぶことが拡充され（というか復活して）ド・モアブルの公式（ド・モアブルの定理）をやるようになりましたが、この公式はオイラーの公式を知ってると簡単に理解できます（むしろオイラ…

以下のような積の和を一般に与える公式を導きます。 参考 『級数・フーリエ解析 (岩波 数学公式 2)』 概要後でもう少し一般化した場合を導出しますが、 の場合に算数っぽく導出しておきます。 まずは の場合。 角括弧内の第1項内の1つ目の項 と第2項内の2つ…

双曲線関数は基本的に単なる指数関数なので（『もしも高校で双曲線関数をやったなら (1) ： 双曲線関数の定義と相互関係』参照）、逆双曲線関数は対数関数で表すことができます。 を対数関数で表す とおくと 、これを指数関数で書き換えると つまり となりま…

この記事では、以下の積分 を実行してみます。 結果が実数関数であることを要請すると、 の値によって の範囲に制限が出てくる場合があるのでちょっと面倒。 後のために、被積分関数の平方根の中を平方完成しておきましょう： では、いくつかの場合に分けて…

『級数・フーリエ解析 (岩波 数学公式 2)』に載ってる、二項係数を1つ含む級数の公式を導いてみます。 前々回、前回に二項係数を2つ含む級数の公式をあれこれ導いたので、ちょっと順番が前後しますが。確認二項係数は階乗を使って以下のように定義されるので…

前回、二項係数の加法定理（加法公式）を使って、『級数・フーリエ解析 (岩波 数学公式 2)』に載っている、二項係数を2つ含む級数の公式をいくつか導きました。 ただ、いくつか加法定理からは導けない公式があったので、今回はそれらを別の方法で導いてみま…

今回は二項係数（binomial coefficient）の第1引数に対する加法公式（加法定理？）を導きます。 この公式を使って、二項係数を２つ含む級数をあれこれ計算できます。 前回の記事『二項係数の定義を負の係数に拡張する』では、第1引数が整数（以下では ）の二…

前回の記事で、『級数・フーリエ解析 (岩波 数学公式 2)』に載ってる階乗や二項係数を含む級数の公式をいくつか導きましたが、実は という公式を導けなくて挫折してました、ハイ、スイマセン。 で、あれこれ思考＆調査したところ、どうも二項係数を負の値に…

ちょっと、とある公式を導くために二項係数を含む級数をあれこれ考えてたんですが、どうも導き方がよく分からなかったので、階乗や二項係数を含む級数の公式を片っ端から導いてみます。 公式は『級数・フーリエ解析 (岩波 数学公式 2)』に載ってるもの。 以…

特殊関数の公式を証明していくシリーズ（目次）。 前回に引き続き、いろいろな関数を一般化された超幾何関数で表してみましょう。 今回は の場合。 一般化された超幾何関数の定義は以下のようでした： また、以下のような等式も前回導きました。 これに加え…

特殊関数の公式を証明していくシリーズ（目次）。 前回、一般化された超幾何関数という関数の定義を見ました： 今回は、いろいろな関数がこの一般化された超幾何関数を使って表すことができることを見ていきましょう。ポッホハマー記号の値あれこれまず、後…