二項係数の加法公式を導く

今回は二項係数（binomial coefficient）の第1引数に対する加法公式（加法定理？）を導きます。　この公式を使って、二項係数を２つ含む級数をあれこれ計算できます。　前回の記事『二項係数の定義を負の係数に拡張する』では、第1引数が整数（以下では ${ a }$ ）の二項係数を次の冪級数展開の係数で定義し直したのでした：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} (1+x)^a = \sum_{p=0}^\infty \binom{a}{p}x^p \end{align*}}$

この定義より、第一引数が整数の二項係数は以下のように書けることも見ました：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \binom{a}{r} = \begin{cases} 0 & (0 \le a < r) \\[3mm] \dfrac{a!}{(a-r)!r!} & (0 \le r \le a) \\[6mm] \displaystyle (-1)^r\binom{-a+r-1}{r} = (-1)^r\frac{(-a+r-1)!}{(a-1)!r!} & (a < 0 \le r) \end{cases} \end{align*}}$
ちなみに、この記事では第2引数の ${ r }$ は自然数（0を含む）とします。　 ${ r }$ が負のときは二項係数が0と定義しても別にいいんですが、今回は使いません。

二項係数の加法公式

では二項係数の加法公式を導きましょう。　第1引数が整数の和 ${ a+b }$ の二項係数は、定義より以下の冪展開の係数で与えられます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} (1+x)^{a+b} = \sum_{p=0}^\infty \binom{a+b}{p} x^p \end{align*}}$

この左辺を指数法則で2つの因子に分けて、それぞれを冪展開すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} (1+x)^{a+b} &= (1+x)^a (1+x)^b \\ &= \sum_{r=0}^\infty \binom{a}{r}x^r \sum_{s=0}^\infty \binom{b}{s}x^s \\ &= \sum_{r=0}^\infty\sum_{s=0}^\infty \binom{a}{r}\binom{b}{s}x^{r+s} \end{align*}}$

ここで、『指数関数の冪級数から指数法則を導く』で行った和の取り方の変換を行うと、 ${ p = r + s }$ として

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} (1+x)^{a+b} &= \sum_{p=0}^\infty\sum_{r=0}^p \binom{a}{r}\binom{b}{p-r}x^p \\ &= \sum_{p=0}^\infty\left\{\sum_{r=0}^p \binom{a}{r}\binom{b}{p-r}\right\}x^p \end{align*}}$

よって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \binom{a+b}{p} = \sum_{r=0}^p \binom{a}{r}\binom{b}{p-r} \end{align*}}$

同様にして（もしくはダミー変数 ${ r }$ を適当に変数変換して）

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \binom{a+b}{p} = \sum_{r=0}^p \binom{a}{p-r}\binom{b}{r} \end{align*}}$

も簡単に導けます。　まとめると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \binom{a+b}{p} = \sum_{r=0}^p \binom{a}{r}\binom{b}{p-r} = \sum_{r=0}^p \binom{a}{p-r}\binom{b}{r} \end{align*}}$

を得ます。　まぁこれで加法公式の導出完了。　次は、これを使って『級数・フーリエ解析 (岩波数学公式 2)』に載っている公式をいくつか導いてみましょう。

a, b がともに自然数の場合

まず、後で使いやすいように a, b が自然数の場合に上記の加法定理を書き換えておきましょう。　 ${ a = m,\,b = n }$ （ ${ m,\,n }$ は自然数 *1）のとき

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \binom{m+n}{p} &= \sum_{r=0}^p \binom{m}{r}\binom{n}{p-r} = \sum_{r=0}^p \binom{m}{p-r}\binom{n}{r} & (p \le m+n) \end{align*}}$

${ m = n,\,p = n }$ のとき

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \binom{2n}{n} &= \sum_{r=0}^p \binom{n}{r}\binom{n}{n-r} = \sum_{r=0}^p \binom{n}{r}\binom{n}{r} \\ &= \sum_{r=0}^n \binom{n}{r}^2 \end{align*}}$

よって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sum_{r=0}^n \binom{n}{r}^2 = \binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2} \end{align*}}$

${ m = n - 1,\,p = n }$ のとき

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \binom{2n-1}{n} &= \sum_{r=0}^n \binom{n}{r}\binom{n-1}{n-r} = \sum_{r=0}^n \binom{n}{r}\binom{n-1}{r-1} \end{align*}}$

ここで二項係数に対する公式

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} r\binom{n}{r} = r \frac{n!}{(n-r)!r!} = n \frac{(n-1)!}{(n-r)!(r-1)!} = n\binom{n-1}{r-1} \end{align*}}$

を使うと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \binom{2n-1}{n} = \frac{1}{n}\sum_{r=0}^n \binom{n}{r}\cdot r\binom{n}{r} = \frac{1}{n}\sum_{r=0}^n r\binom{n}{r}^2 \end{align*}}$

よって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sum_{r=0}^n r\binom{n}{r}^2 = n\binom{2n-1}{n} = \frac{(2n-1)!}{\left\{(n-1)!\right\}^2} \end{align*}}$

${ p = n }$ のとき

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \binom{m+n}{n} = \sum_{r=0}^p \binom{m}{r}\binom{n}{n-r} = \sum_{r=0}^p \binom{m}{r}\binom{n}{r} \end{align*}}$

よって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sum_{r=0}^p \binom{m}{r}\binom{n}{r} = \binom{m+n}{n} = \binom{m+n}{m} \end{align*}}$

${ m = n,\,p = n - m }$ のとき

加法公式の ${ (m,\,n,\,p) }$ の組として ${ (n,\,n,\,n-m) }$ （ただし ${ m \le n }$ ）を用いると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \binom{2n}{n-m} = \sum_{r=0}^p \binom{n}{r}\binom{n}{n-m-r} = \sum_{r=0}^p \binom{n}{r}\binom{n}{m+r} \end{align*}}$

よって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sum_{r=0}^p \binom{n}{r}\binom{n}{m+r} &= \binom{2n}{n-m} = \frac{(2n)!}{(n+m)!(n-m)!} & (m \le n) \end{align*}}$

${ b = -a }$ の場合

${ a,\,b }$ がどちらも自然数の場合しか加法公式を使わないと、せっかく整数に対して公式を導いたのに勿体ないので、次は ${ a,\,b }$ の一方が負の場合を見ていきましょう。　特に ${ a = -b = p = n }$ （ ${ n }$ は正の自然数）として

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \binom{0}{n} &= \sum_{r=0}^n \binom{n}{n-r}\binom{-n}{r} \\ &= \sum_{r=0}^n (-1)^r\binom{n}{r}\binom{n+r-1}{r} \\ &= \sum_{r=0}^n (-1)^r\frac{n!}{(n-r)!r!}\frac{(n+r-1)!}{(n-1)!r!} \\ &= \sum_{r=0}^n (-1)^r \frac{n(n+r-1)!}{(r!)^2(n-r)!} \end{align*}}$

ここで

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \binom{0}{n} = 0 \end{align*}}$

なので

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sum_{r=0}^n (-1)^r\frac{n(n+r-1)!}{(r!)^2(n-r)!} = 0 \end{align*}}$

また ${ r \ge 1 }$ のとき

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{n(n+r-1)!}{(n-r)!} &= n\cdot (n+r-1)(n+r-2)(n+r-3)\cdots (n+1)n(n-1)\cdots(n-r+1) \\ &= n^2 \left\{(n-1)(n+1)\right\}\left\{(n-2)(n+2)\right\}\cdots\left\{(n-(r-1))(n+(r-1))\right\} \\ &= n^2(n^2-1^2)(n^2-2^2)\cdots(n-(r-1)^2) \\ &= \prod_{k=0}^{r-1}(n^2-k^2) \end{align*}}$

と変形できるので、上式の左辺は別の綺麗な（？）形にできて

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sum_{r=0}^n (-1)^r\frac{n(n+r-1)!}{(r!)^2(n-r)!} &= 1 + \sum_{r=1}^n\frac{ (-1)^r}{(r!)^2}\prod_{k=0}^{r-1}(n^2-k^2) = 0 \end{align*}}$

ふぅ。　 ${ a,\,b }$ 両方が負の場合に使える公式とかもあるかもしれないけど、今回はこの辺で。

本日導いた公式

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\sum_{r=0}^p\binom{n}{r} \binom{m}{p-r} = \binom{m+n}{p} & (p \le m+n) \\ &\sum_{r=0}^n \binom{n}{r}^2 = \binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2} \\ &\sum_{r=0}^n r\binom{n}{r}^2 = n\binom{2n-1}{n} = \frac{(2n-1)!}{\left\{(n-1)!\right\}^2} \\ &\sum_{r=0}^p \binom{m}{r}\binom{n}{r} = \binom{m+n}{n} = \binom{m+n}{m} \\ &\sum_{r=0}^p \binom{n}{r}\binom{n}{m+r} = \binom{2n}{n-m} = \frac{(2n)!}{(n+m)!(n-m)!} & (m \le n) \\ &\sum_{r=0}^n (-1)^r\frac{n(n+r-1)!}{(r!)^2(n-r)!} = 1 + \sum_{r=1}^n\frac{ (-1)^r}{(r!)^2}\prod_{k=0}^{r-1}(n^2-k^2) = 0 \end{align*}}$