倭算数理研究所

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逆双曲線関数を対数関数で表す

もう少し双曲線関数の公式シリーズ(目次)。 双曲線関数は指数関数を用いて定義されるので、逆双曲線関数は対数関数で表すことができます。 今回はその表式を導きます。

逆正弦関数

{y = \sinh^{\small -1}x} の関係があるとき、{\sinh^{\small -1} y = x} より

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{e^{y} - e^{-y}}{2} = x
\end{align*}}

ここで { Y = e^y \quad (Y > 0)} とおくと

  { \displaystyle\begin{align*}
  &\frac{Y - Y^{-1}}{2} = x \\[2mm]
  \therefore \,& Y^2 -2xY - 1 = 0
\end{align*}}

この {Y} についての2次方程式を解くと

  { \displaystyle\begin{align*}
  Y &= x + \sqrt{x^2 + 1} \qquad (\because Y > 0)\\
  \therefore \, y &= \log\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)
\end{align*}}

結局、{y = \sinh^{\small -1} x} の表式として以下を得ます:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \sinh^{\small -1} x = \log\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)
\end{align*}}

余弦関数

余弦関数も逆正弦関数のときと同じように導けます。 ただし、余弦関数 {\cosh x} は正弦関数 {\sinh x} のように全単射ではないので、変数の定義域をちょっと注意深くみる必要があります。 {y = \cosh^{\small -1}x\quad(x \geqq 1,\,y \geqq 0)} の関係があるとき、{\cosh^{\small -1} y = x} より

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{e^{y} + e^{-y}}{2} = x
\end{align*}}

ここで { Y = e^y \quad (Y  \geqq 1)} とおくと

  { \displaystyle\begin{align*}
  &\frac{Y + Y^{-1}}{2} = x \\[2mm]
  \therefore \,& Y^2 -2xY + 1 = 0
\end{align*}}

この {Y} についての2次方程式を解くと

  { \displaystyle\begin{align*}
  Y &= x + \sqrt{x^2 - 1} \qquad (\because Y \geqq 1)\\
  \therefore \, y &= \log\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)
\end{align*}}

{x > 1} なら {x - \sqrt{x^2 - 1} < 1} が示せるので。)よって

  { \displaystyle\begin{align*}
  \cosh^{\small -1}x = \log\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)
\end{align*}}

正接関数

正接関数の場合も同様。 {y = \tanh^{\small -1}x\qquad -1 \leqq x \leqq 1} の関係があるとき

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{e^y - e^{-y}}{e^y + e^{-y}} = x
\end{align*}}

より、{ Y = e^y \quad(Y > 0) } とおくと

  { \displaystyle\begin{align*}
  &\frac{Y - Y^{-1}}{Y + Y^{-1}} = x \\[2mm]
  &Y^2 - 1 = x\left(Y^2 + 1\right) \\[2mm]
  &(1-x)Y^2 = 1 + x \\[2mm]
  \therefore \,& Y = \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} \qquad (Y > 0)
\end{align*}}

{ Y = e^y } だったので

  { \displaystyle\begin{align*}
  y = \log\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}
    = \frac{1}{2}\log\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)
\end{align*}}

結局、{y = \tanh^{\small -1} x} の表式として以下を得ます:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \tanh^{\small -1} x = \frac{1}{2}\log\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)
\end{align*}}

その他の逆双曲線関数

上記で導いた以外の逆三角関数の表式は、{\coth^{\small -1} x = \tanh^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)} 等の公式を使って導けます。

  { \displaystyle\begin{align*}
  \coth^{\small -1} x
    &= \tanh^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) \\
    &= \frac{1}{2}\log\left(\frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}\right) \\[2mm]
    &= \frac{1}{2}\log\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)
\end{align*}}

  { \displaystyle\begin{align*}
  \sec^{\small -1} x
    &= \cos^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) \\ 
    &= \log\left(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1}\right) \\
    &= \log\left(\frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x}\right)
\end{align*}}

  { \displaystyle\begin{align*}
  \csc^{\small -1} z
    &= \sin^{-1}\left(\frac{1}{z}\right) \\ 
    &= \log\left(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1}\right)
\end{align*}}

まとめ

  { \displaystyle\begin{align*}
  \sinh^{\small -1} x &= \log\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) \\[2mm]
  \cosh^{\small -1}x &= \log\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \\[2mm]
  \tanh^{\small -1} x &= \frac{1}{2}\log\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) \\[2mm]
  \coth^{\small -1} x &= \frac{1}{2}\log\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right) \\[2mm]
  \sec^{\small -1} z &= \log\left(\frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x}\right)\\[2mm]
  \csc^{\small -1} z &= \log\left(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1}\right)
\end{align*}}