逆双曲線関数を対数関数で表す

もう少し双曲線関数の公式シリーズ（目次）。　双曲線関数は指数関数を用いて定義されるので、逆双曲線関数は対数関数で表すことができます。　今回はその表式を導きます。

逆正弦関数

${y = \sinh^{\small -1}x}$ の関係があるとき、 ${\sinh^{\small -1} y = x}$ より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{e^{y} - e^{-y}}{2} = x \end{align*}}$

ここで ${ Y = e^y \quad (Y > 0)}$ とおくと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\frac{Y - Y^{-1}}{2} = x \\[2mm] \therefore \,& Y^2 -2xY - 1 = 0 \end{align*}}$

この ${Y}$ についての2次方程式を解くと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} Y &= x + \sqrt{x^2 + 1} \qquad (\because Y > 0)\\ \therefore \, y &= \log\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) \end{align*}}$

結局、 ${y = \sinh^{\small -1} x}$ の表式として以下を得ます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sinh^{\small -1} x = \log\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) \end{align*}}$

逆余弦関数

逆余弦関数も逆正弦関数のときと同じように導けます。　ただし、余弦関数 ${\cosh x}$ は正弦関数 ${\sinh x}$ のように全単射ではないので、変数の定義域をちょっと注意深くみる必要があります。　 ${y = \cosh^{\small -1}x\quad(x \geqq 1,\,y \geqq 0)}$ の関係があるとき、 ${\cosh^{\small -1} y = x}$ より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{e^{y} + e^{-y}}{2} = x \end{align*}}$

ここで ${ Y = e^y \quad (Y \geqq 1)}$ とおくと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\frac{Y + Y^{-1}}{2} = x \\[2mm] \therefore \,& Y^2 -2xY + 1 = 0 \end{align*}}$

この ${Y}$ についての2次方程式を解くと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} Y &= x + \sqrt{x^2 - 1} \qquad (\because Y \geqq 1)\\ \therefore \, y &= \log\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \end{align*}}$

（ ${x > 1}$ なら ${x - \sqrt{x^2 - 1} < 1}$ が示せるので。）よって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cosh^{\small -1}x = \log\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \end{align*}}$

逆正接関数

逆正接関数の場合も同様。　 ${y = \tanh^{\small -1}x\quad (-1 \leqq x \leqq 1)}$ の関係があるとき

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{e^y - e^{-y}}{e^y + e^{-y}} = x \end{align*}}$

より、 ${ Y = e^y \quad(Y > 0) }$ とおくと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\frac{Y - Y^{-1}}{Y + Y^{-1}} = x \\[2mm] &Y^2 - 1 = x\left(Y^2 + 1\right) \\[2mm] &(1-x)Y^2 = 1 + x \\[2mm] \therefore \,& Y = \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} \qquad (Y > 0) \end{align*}}$

${ Y = e^y }$ だったので

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} y = \log\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} = \frac{1}{2}\log\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) \end{align*}}$

結局、 ${y = \tanh^{\small -1} x}$ の表式として以下を得ます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \tanh^{\small -1} x = \frac{1}{2}\log\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) \end{align*}}$

その他の逆双曲線関数

上記で導いた以外の逆三角関数の表式は、 ${\coth^{\small -1} x = \tanh^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)}$ 等の公式を使って導けます。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \coth^{\small -1} x &= \tanh^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) \\ &= \frac{1}{2}\log\left(\frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}\right) \\[2mm] &= \frac{1}{2}\log\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right) \end{align*}}$

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sec^{\small -1} x &= \cos^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) \\ &= \log\left(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1}\right) \\ &= \log\left(\frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x}\right) \end{align*}}$

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \csc^{\small -1} z &= \sin^{-1}\left(\frac{1}{z}\right) \\ &= \log\left(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1}\right) \end{align*}}$

まとめ

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sinh^{\small -1} x &= \log\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) \\[2mm] \cosh^{\small -1}x &= \log\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \\[2mm] \tanh^{\small -1} x &= \frac{1}{2}\log\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) \\[2mm] \coth^{\small -1} x &= \frac{1}{2}\log\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right) \\[2mm] \sec^{\small -1} z &= \log\left(\frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x}\right)\\[2mm] \csc^{\small -1} z &= \log\left(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1}\right) \end{align*}}$