倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

目次

もう少し三角関数の公式 ~目次~

以前に三角関数の公式を復習するシリーズ記事(『三角関数の公式を復習する (1) : 三角関数の定義と相互関係』に目次あり)を書きましたが、これらは一応高校数学の範囲内の話でした(高校で出てこない3つの三角関数の公式も導いてますが)。このシリーズで…

特殊関数の公式を証明する記事の目次

特殊関数の公式を証明していく記事が増えていきそうなので目次記事を作っておきます。 一般論 『特殊関数のための微分方程式論 Quick Start ~ロンスキアン・自己随伴化~』 ガンマ関数・ベータ関数 『とあるガンマ関数の公式目録』 『ガンマ関数とベータ関…

シュレディンガー方程式を解こう ~目次~

学部でやるような量子系のシュレディンガー方程式を解いていくシリーズの目次。ハミルトニアンを 、状態ベクトルを とすると、時間に依存するシュレディンガー方程式 (Schrödinger equation) は で与えられるのでした。 このシリーズ記事では、基本的にハミ…

『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く ~目次~

単なる読書メモです。I. QUANTUM BUILDING BLOCKS 2. Single-Qubit Quantum Systems 2.1 / 2.2 / 2.3 / 2.4 / 2.5 / 2.6 / 2.7 / 2.8 / 2.9 / 2.10 / 2.11 / 2.12 / 2.13 / 2.14 3. Multiple-Qubit Systems 3.1 / 3.2 / 3.3 / 3.4 / 3.5 / 3.6 / 3.7 / 3.8 /…

古典力学 目次

1粒子系 1粒子系でのニュートンの運動方程式 1次元 力が働いてないときの運動 一定の力が働いているときの運動 空気抵抗のある系 速度に比例する空気抵抗を受ける落下 速度の2乗に比例する空気抵抗を受ける落下 調和振動子 1次元の調和振動子 調和振動子の強…

Scala アルゴリズム事典

『Java によるアルゴリズム事典』に載ってるコードを Scala かつ再帰(できる限り末尾再帰)で書いていこうシリーズ。 と言っても、他のことで使うコードでこの本に載ってるアルゴリズムを使うときに記事更新するので、たまにしか記事書かないと思います。数…

高校数学で線型代数入門 (1) ~行列の定義~

前回、軌跡を使ってグラフを回転する方法を見ましたが、ここまできたら行列を使わないのは逆に不自然な気もするので、簡単に行列(線型代数)に入門してみましょう。 数学的にあんまり(というかまったく)厳密ではないので、詳しくは専門書を参照のこと。シ…

単位球体内の一様分布 : 2次元

今回から何度かに渡り、いくつかの次元における単位球体内の一様分布を生成する方法を見ていきます。 単位球面上の一様分布を得るには、半径 r を1にするだけで OK です。 今回は2次元。 2次元の単位球体は単に「円」(内部を含む)です。目次 2次元 3次元 4…

偶数次元の倭式極座標

倭式極座標を見ていくシリーズ(目次)。 以前の記事『極座標のヤコビ行列とヤコビアン : n次元』で n 次元極座標というものを導入しましたが、4次元以上の高次空間になると極座標の導入の仕方にもある程度任意性が出てきます*1(この世界が3次元空間である…

もしも高校で双曲線関数をやったなら (1) : 双曲線関数の定義と相互関係

今回から何回かにわたって双曲線関数 (hyperbolic functions) を見ていきます。 双曲線関数の定義と相互関係 負の引数、純虚数の引数 双曲線関数の加法定理 双曲線関数の倍角の公式 双曲線関数の半角の公式 双曲線関数の三倍角の公式 双曲線関数の合成 双曲…

三角関数の公式を復習する (1) : 三角関数の定義と相互関係

今回から何回かに渡って、高校数学で出てくる三角関数の公式をオイラーの公式を使って定義・導出していきます。【シリーズ記事の目次】 三角関数の定義と相互関係 負の引数、純虚数の引数 三角関数の加法定理 倍角の公式 半角の公式 三倍角の公式 三角関数の…

ルンゲ=クッタ法を導く (1) : 準備としての高次テイラー法

次回に、イマイチ導出が謎な『ルンゲ=クッタ (Runge-Kutta)法』*1を導いてみます。 今回はそれを行うのに必要な準備として、高次テイラー法を簡単に導出します*2。目次 準備としての高次テイラー法 問題設定 1次の場合 2次の場合 3次の場合 4次の場合 微分方…

3次元の点と平面の距離の公式を導く ~ガリガリ計算編~

前回、 次元における点と 次元超平面との距離を与える公式を導きました。 そのついでとして3次元空間での点と平面との距離の公式を得ました。 今回は、その3次元での公式を、「点と直線の距離の公式を導く ~初等的解法~」で行ったのと同じような方法で導い…

点と直線の距離の公式を導く ~初等的方法~

高校数学で、導出に手間がかかるので覚えておかないとテストとかでどうしようもなくなる公式の筆頭候補が点と直線の距離の公式です。 まぁ、手間が少々かかるというだけで、導こうと思って導けない公式ではないので、実際に導いてみましょう。導き方にはいく…

波動

高校レベルの波動の理論を復習。 少し高校の範囲をはみ出てますが、そんなに難しくないと思います。 また、ここで見た形式を用いて、後日に音波のドップラー効果を導いてみます。 波動 座標変換でドップラー効果の公式を導いてみる : 音源が動く場合 座標変…

ラプラシアンの極座標表示 : 2次元

これから何回かにわたって、ラプラシアン (Laplacian) の極座標表示を地道に泥臭く計算していきます。【シリーズ記事目次】 2次元 3次元 2次元 再考 3次元 再考 4次元 n 次元 計量テンソル編 2次元 計量テンソル編 3次元 計量テンソル編 4次元 計量テンソル…

大学数学で求める球の体積:2次元

今回から何回かにわたって、前回までで求めた極座標のヤコビアンを用いて球の体積を計算していきます。目次 2次元 3次元 4次元 n 次元 n次元球の体積をガンマ関数で表す n次元球面の面積 n次元球面の面積とn次元球体の体積をガンマ関数で表す〜エレガント編…

極座標のヤコビ行列とヤコビアン : 2次元

前回までは、(なるべく)高校数学のみを使って球の体積を求めました。 大学以降ではこのような方法ではなく、一端「極座標」(2次元の場合は高校数学の数学 C でやります)に変数変換した後、積分を実行します。 この方法では変数変換の部分(体積がどのよ…

高校数学で求める球の体積 :1次元

(なるべく)高校数学のみを使って、いろいろな次元の球の体積を求めてみます。目次 1次元 2次元 3次元 4次元 n次元 1次元の球の体積(円周の長さ)今回は1次元の場合。半径 の1次元球 の体積 を求める。 は「球」と書いてますが、これは単なる長さ の「線分…