ラプラシアンの極座標表示： 2次元

これから何回かにわたって、ラプラシアン (Laplacian)

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \triangle = \nabla^2 = \sum_{i=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x_i^2} \end{align*}}$

の極座標表示を地道に泥臭く計算していきます。

【シリーズ記事目次】

今回は2次元の場合

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \end{align*}}$

2次元のラプラシアンの極座標表示

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \begin{cases} x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta \end{cases} \quad \begin{pmatrix} 0 \le r < \infty \\ 0 \le \theta \le 2\pi \end{pmatrix} \end{align*}}$

と定義されてますが（こちらを参照）、今回はこれを逆に解いて、動径 ${ r }$ 、偏角 ${ \theta }$ を直交座標の ${ x,\,y }$ で表した以下の表式を用います：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} r = \sqrt{x^2 + y^2} \qquad \theta = \tan^{-1}\frac{y}{x} \end{align*}}$

直交座標の微分を極座標とその微分で表す

まずは直交座標 ${ x,\,y }$ による微分を、極座標 ${ r,\,\theta }$ とその微分で表しましょう。　 ${ x }$ 微分も ${ y }$ 微分もほとんど同じ計算なので、 ${ x }$ 微分の方を少々丁寧に計算します。　連鎖律 (chain rule) より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \theta} \end{align*}}$

が成り立つので ${ r }$ と ${ \theta }$ の ${ x }$ 微分を計算しましょう。　まずは動径 ${ r }$ を ${ x }$ で微分：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial r}{\partial x} &= \frac{\partial}{\partial x}\sqrt{x^2 + y^2} \\ &= \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + y^2}} \\ &= \frac{x}{r} \\ &= \cos\theta \end{align*}}$

まぁ、なんてことないですね。　次は ${ \theta }$ の ${ x }$ 微分 *1。　 ${ \tan \theta }$ の以下の表式

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \tan\theta = \frac{y}{x} \end{align*}}$

の両辺を ${ x }$ で微分すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{1}{\cos^2 \theta}\frac{\partial \theta}{\partial x} = -\frac{y}{x^2} = -\frac{\sin\theta}{r\cos^2\theta} \end{align*}}$

よって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial \theta}{\partial x} = -\frac{\sin\theta}{r} \end{align*}}$

（もしくは逆正接関数 ${ \tan^{-1}\theta }$ の微分公式『逆三角関数の導関数』を使って

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial\theta}{\partial x} &=\frac{\partial}{\partial x}\tan^{-1}\frac{y}{x} \\[2mm] &= \frac{1}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}\left(-\frac{y}{x^2}\right) \\[2mm] &= -\frac{y}{x^2+y^2} \\[2mm] &= -\frac{\sin\theta}{r} \end{align*}}$

としても同じ結果を得られます）得られた結果をまとめると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial}{\partial x} = \cos\theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} \end{align*}}$

となり、 ${ x }$ 微分を極座標とその微分で表せました。　 ${ y }$ 座標に対しても、同様にして

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial r}{\partial y} = \sin\theta, \qquad \frac{\partial \theta}{\partial y} = \frac{\cos\theta}{r} \end{align*}}$

より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial}{\partial y} = \sin\theta \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} \end{align*}}$

を得ます。　結果をまとめると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \nabla = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x} \\[4mm] \dfrac{\partial}{\partial y} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \cos\theta \dfrac{\partial}{\partial r} - \dfrac{\sin\theta}{r}\dfrac{\partial}{\partial \theta} \\[4mm] \sin\theta \dfrac{\partial}{\partial r} + \dfrac{\cos\theta}{r}\dfrac{\partial}{\partial \theta} \end{pmatrix} \\[4mm] &= \begin{pmatrix} \cos\theta & - \dfrac{\sin\theta}{r} \\[4mm] \sin\theta & \dfrac{\cos\theta}{r} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial r} \\[4mm] \dfrac{\partial}{\partial \theta} \end{pmatrix} \end{align*}}$

ラプラシアンを極座標とその微分で表す

では、上記の結果を用いてラプラシアンを極座標とその微分で表します。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial^2}{\partial x^2} &= \left(\cos\theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\left(\cos\theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right) \\ &= \cos\theta \frac{\partial}{\partial r}\left(\cos\theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right) - \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\cos\theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right) \end{align*}}$

ここで

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial}{\partial r}\left(\cos\theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right) &= \cos\theta\frac{\partial^2}{\partial r^2} - \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial^2}{\partial r \partial \theta} + \frac{\sin\theta}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta} \\[2mm] \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\cos\theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right) &= \cos\theta\frac{\partial^2}{\partial r \partial \theta} - \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} -\sin\theta\frac{\partial}{\partial r} - \frac{\cos\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} \end{align*}}$

なので

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial^2}{\partial x^2} &= \cos^2\theta \frac{\partial^2}{\partial r^2} - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r}\frac{\partial^2}{\partial r\partial\theta} + \frac{\sin^2\theta}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \\ &\qquad\qquad+\frac{\sin^2\theta}{r}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta} \end{align*}}$

となります。　同様にして

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial^2}{\partial y^2} &= \sin^2\theta \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r}\frac{\partial^2}{\partial r\partial\theta} + \frac{\cos^2\theta}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \\ &\qquad\qquad+\frac{\cos^2\theta}{r}\frac{\partial}{\partial r} - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta} \end{align*}}$

結果を合わせると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} &= \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} +\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \\ &= \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial}{\partial r}\right) +\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \end{align*}}$